Se os elementos da matriz A3x4 são definidos por aij = 2i – j, então, o elemento b23 da matriz B = 2-1 A.At é: (a) 1 (b) 7 (c) 13 (d) 10 (e) 15

Para resolver a questão, vamos primeiro entender a matriz \( A \) e como ela é definida. Os elementos da matriz \( A \) são dados por \( a_{ij} = 2i - j \). Como \( A \) é uma matriz \( 3 \times 4 \), vamos calcular os elementos: - Para \( i = 1 \): - \( a_{11} = 2(1) - 1 = 1 \) - \( a_{12} = 2(1) - 2 = 0 \) - \( a_{13} = 2(1) - 3 = -1 \) - \( a_{14} = 2(1) - 4 = -2 \) - Para \( i = 2 \): - \( a_{21} = 2(2) - 1 = 3 \) - \( a_{22} = 2(2) - 2 = 2 \) - \( a_{23} = 2(2) - 3 = 1 \) - \( a_{24} = 2(2) - 4 = 0 \) - Para \( i = 3 \): - \( a_{31} = 2(3) - 1 = 5 \) - \( a_{32} = 2(3) - 2 = 4 \) - \( a_{33} = 2(3) - 3 = 3 \) - \( a_{34} = 2(3) - 4 = 2 \) Assim, a matriz \( A \) fica: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} \] Agora, precisamos calcular \( B = 2^{-1} A A^T \). Primeiro, vamos calcular \( A^T \): \[ A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \\ -1 & 1 & 3 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] Agora, vamos calcular \( A A^T \): \[ A A^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \\ -1 & 1 & 3 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] Calculando os elementos de \( A A^T \): - Para a primeira linha: - \( (1)(1) + (0)(0) + (-1)(-1) + (-2)(-2) = 1 + 0 + 1 + 4 = 6 \) - \( (1)(3) + (0)(2) + (-1)(1) + (-2)(0) = 3 + 0 - 1 + 0 = 2 \) - \( (1)(5) + (0)(4) + (-1)(3) + (-2)(2) = 5 + 0 - 3 - 4 = -2 \) - Para a segunda linha: - \( (3)(1) + (2)(0) + (1)(-1) + (0)(-2) = 3 + 0 - 1 + 0 = 2 \) - \( (3)(3) + (2)(2) + (1)(1) + (0)(0) = 9 + 4 + 1 + 0 = 14 \) - \( (3)(5) + (2)(4) + (1)(3) + (0)(2) = 15 + 8 + 3 + 0 = 26 \) - Para a terceira linha: - \( (5)(1) + (4)(0) + (3)(-1) + (2)(-2) = 5 + 0 - 3 - 4 = -2 \) - \( (5)(3) + (4)(2) + (3)(1) + (2)(0) = 15 + 8 + 3 + 0 = 26 \) - \( (5)(5) + (4)(4) + (3)(3) + (2)(2) = 25 + 16 + 9 + 4 = 54 \) Assim, temos: \[ A A^T = \begin{pmatrix} 6 & 2 & -2 \\ 2 & 14 & 26 \\ -2 & 26 & 54 \end{pmatrix} \] Agora, multiplicamos por \( 2^{-1} \): \[ B = \frac{1}{2} A A^T = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 7 & 13 \\ -1 & 13 & 27 \end{pmatrix} \] Finalmente, o elemento \( b_{23} \) da matriz \( B \) é \( 13 \). Portanto, a resposta correta é: (c) 13.