A soma das soluções da equação trigonométrica cos2x + 3cosx = -2, no intervalo [0, 2π] é a) π b) 2π c) 3π d) 5π/3 e) 10π/3

Para resolver a equação trigonométrica \( \cos(2x) + 3\cos(x) = -2 \), vamos primeiro usar a identidade \( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \). Assim, a equação se torna: \[ 2\cos^2(x) - 1 + 3\cos(x) + 2 = 0 \] Simplificando, temos: \[ 2\cos^2(x) + 3\cos(x) + 1 = 0 \] Agora, vamos fazer uma substituição: \( y = \cos(x) \). A equação se transforma em: \[ 2y^2 + 3y + 1 = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 2 \), \( b = 3 \) e \( c = 1 \): \[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} \] \[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} \] \[ y = \frac{-3 \pm 1}{4} \] Isso nos dá duas soluções: 1. \( y = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \) 2. \( y = \frac{-4}{4} = -1 \) Agora, vamos encontrar os valores de \( x \) correspondentes a essas soluções no intervalo \( [0, 2\pi] \): 1. Para \( \cos(x) = -\frac{1}{2} \): - \( x = \frac{2\pi}{3} \) e \( x = \frac{4\pi}{3} \) 2. Para \( \cos(x) = -1 \): - \( x = \pi \) Agora, somamos as soluções: \[ \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi + 4\pi + 3\pi}{3} = \frac{9\pi}{3} = 3\pi \] Portanto, a soma das soluções da equação trigonométrica no intervalo \( [0, 2\pi] \) é: c) 3π.