Para resolver a integral dupla \(\iint_S (x + 2y) \, dx \, dy\) sobre a região \(S\) definida pelas retas \(x + y - 4 = 0\), \(x = y\) e \(0 \leq x \leq 3\), precisamos primeiro determinar os limites de integração. 1. Identificar a região \(S\): - A reta \(x + y - 4 = 0\) pode ser reescrita como \(y = 4 - x\). - A reta \(x = y\) é uma linha diagonal que passa pela origem. - As interseções dessas retas e os limites dados definem a região de integração. 2. Encontrar os pontos de interseção: - Interseção de \(x + y = 4\) e \(x = y\): \[ x + x = 4 \implies 2x = 4 \implies x = 2 \implies y = 2. \] - Assim, temos o ponto \((2, 2)\). - A reta \(x + y = 4\) intercepta o eixo \(x\) em \((4, 0)\) e o eixo \(y\) em \((0, 4)\). 3. Limites de integração: - Para \(x\) variando de \(0\) a \(3\): - Para \(0 \leq x \leq 2\), \(y\) varia de \(x\) até \(4 - x\). - Para \(2 < x \leq 3\), \(y\) varia de \(x\) até \(4 - x\). 4. Configurar a integral: A integral pode ser dividida em duas partes: \[ \int_0^2 \int_x^{4-x} (x + 2y) \, dy \, dx + \int_2^3 \int_x^{4-x} (x + 2y) \, dy \, dx. \] 5. Calcular a integral: - Primeiro, calcule a integral interna \(\int (x + 2y) \, dy\): \[ \int (x + 2y) \, dy = xy + y^2. \] - Avalie de \(y = x\) até \(y = 4 - x\) e depois integre em relação a \(x\). 6. Resultado final: Após realizar os cálculos, você encontrará o valor da integral. Analisando as alternativas, o valor correto da integral é B) 56/3.