Sejam x1, x2 e x3 as raízes do polinômio p(x) = x³ – x² – 14x + 24. O valor de x1² + x2² + x3² é a) 14 b) 29 c) 38 d) 336 e) 576

Para encontrar o valor de \( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \) a partir das raízes do polinômio \( p(x) = x^3 - x^2 - 14x + 24 \), podemos usar a relação: \[ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) \] Usando as relações de Vieta, temos: - \( x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1} = 1 \) - \( x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = \frac{c}{a} = -\frac{-14}{1} = 14 \) Agora, substituindo na fórmula: \[ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (1)^2 - 2(14) = 1 - 28 = -27 \] Parece que houve um erro, pois o resultado não está entre as opções. Vamos reavaliar. Na verdade, a fórmula correta para \( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \) é: \[ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) \] Substituindo os valores: \[ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (1)^2 - 2(14) = 1 - 28 = -27 \] Parece que houve um erro na interpretação. Vamos calcular diretamente as raízes do polinômio. As raízes do polinômio podem ser encontradas por fatoração ou pela fórmula de Bhaskara. Após encontrar as raízes, podemos calcular \( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \). Após resolver o polinômio, encontramos que as raízes são \( 2, 3, -4 \). Agora, calculando \( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \): \[ 2^2 + 3^2 + (-4)^2 = 4 + 9 + 16 = 29 \] Portanto, a resposta correta é: b) 29