Seja o polinômio p(x) = x⁵ + 5x⁴ + 8x³ + 8x² + 7x + 3 com raiz dupla em x = -1. Pode-se afirmar que as demais raízes são compostas por
a) uma raiz real dupla e uma complexa.
b) três raízes reais distintas.
c) uma raiz tripla.
d) duas raízes complexas e uma real
e) duas raízes reais e uma complexa

Question

Seja o polinômio p(x) = x⁵ + 5x⁴ + 8x³ + 8x² + 7x + 3 com raiz dupla em x = -1. Pode-se afirmar que as demais raízes são compostas por
a) uma raiz ...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, vamos analisar o polinômio $ p(x) = x^5 + 5x^4 + 8x^3 + 8x^2 + 7x + 3 $ sabendo que ele tem uma raiz dupla em $ x = -1 $. Isso significa que $ (x + 1)^2 $ é um fator do polinômio.

Como o polinômio é de grau 5 e já temos duas raízes (a raiz dupla em $ x = -1 $), restam 3 raízes a serem encontradas.

Agora, vamos considerar as opções:

a) uma raiz real dupla e uma complexa - Isso não é possível, pois teríamos 4 raízes, e ainda faltaria uma.

b) três raízes reais distintas - Isso é uma possibilidade, mas não é a única.

c) uma raiz tripla - Isso não é possível, pois isso somaria 5 raízes, mas já temos uma raiz dupla.

d) duas raízes complexas e uma real - Isso é uma possibilidade, mas não é a única.

e) duas raízes reais e uma complexa - Isso também é uma possibilidade.

Dado que temos uma raiz dupla e o polinômio é de grau ímpar (5), é garantido que haverá pelo menos uma raiz real. Portanto, a opção que melhor se encaixa, considerando que as raízes restantes podem ser reais ou complexas, é:

**b) três raízes reais distintas.**

Isso porque, em polinômios de grau ímpar, sempre haverá pelo menos uma raiz real, e a combinação de raízes pode levar a três raízes reais distintas.

Matemática

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O valor de  na equação 3 − 612 +  − 5832 = 0 de modo que suas raízes estejam em progressão geométrica, é:
a) 1017
b) 1056
c) 1078
d) 1098
e) 1121

P(x) é um polinômio de coeficientes reais e menor grau com as propriedades abaixo: • os números r1 = 1, r2 = i e r3 = 1 – i são raízes da equação P(x) = 0; • P(0) = – 4. Então, P(– 1) é igual a:
a) 4.
b) – 2.
c) – 10.
d) 10.
e) – 40.

Assinale a alternativa que apresenta o polinômio P de grau mínimo, com coeficientes reais, de modo que P(i) = 2 e P(1+i) = 0.
a) 1/5(x² – 2x + 2)
b) 2/5(x² – 2x + 2)
c) 2/5(x² – 2x + 3)
d) 1/5(x² – 2x² + 2)
e) 2/3(x² – 2x + 3)

Numa equação, encontramos o valor de 884. Para chegar a esse resultado, somamos os quadrados de dois números pares, consecutivos e positivos. Determine o quociente da divisão do maior pelo menor.
a) 0,87
b) 0,95
c) 1,03
d) 1,07
e) 1,10

Sejam x1, x2 e x3 as raízes do polinômio p(x) = x³ – x² – 14x + 24. O valor de x1² + x2² + x3² é
a) 14
b) 29
c) 38
d) 336
e) 576

Sendo i = √-1, n ∈ ℕ, z = {i8n-5 + i 4n-8}³ + 2i e P(x) = -2x³ + x² - 5x + 11 um polinômio sobre o conjunto dos números complexos, então P(z) vale
a) -167 + 4i
b) 41 + 0i
c) -167 – 4i
d) 41 + 2i
e) 0 + 4i

Sabendo-se que i√3 é uma das raízes da equação x⁴ + x³ + 2x² + 3x – 3 = 0, a soma de todas as raízes desta equação é
a) -2i√3
b) 4i√3
c) 0
d) -1
e) -2

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O valor de  na equação 3 − 612 +  − 5832 = 0 de modo que suas raízes estejam em progressão geométrica, é:a) 1017b) 1056c) 1078d) 1098e) 1121

P(x) é um polinômio de coeficientes reais e menor grau com as propriedades abaixo: • os números r1 = 1, r2 = i e r3 = 1 – i são raízes da equação P(x) = 0; • P(0) = – 4. Então, P(– 1) é igual a:a) 4.b) – 2.c) – 10.d) 10.e) – 40.

Assinale a alternativa que apresenta o polinômio P de grau mínimo, com coeficientes reais, de modo que P(i) = 2 e P(1+i) = 0.a) 1/5(x² – 2x + 2)b) 2/5(x² – 2x + 2)c) 2/5(x² – 2x + 3)d) 1/5(x² – 2x² + 2)e) 2/3(x² – 2x + 3)

Numa equação, encontramos o valor de 884. Para chegar a esse resultado, somamos os quadrados de dois números pares, consecutivos e positivos. Determine o quociente da divisão do maior pelo menor.a) 0,87b) 0,95c) 1,03d) 1,07e) 1,10

Sejam x1, x2 e x3 as raízes do polinômio p(x) = x³ – x² – 14x + 24. O valor de x1² + x2² + x3² éa) 14b) 29c) 38d) 336e) 576

Sendo i = √-1, n ∈ ℕ, z = {i8n-5 + i 4n-8}³ + 2i e P(x) = -2x³ + x² - 5x + 11 um polinômio sobre o conjunto dos números complexos, então P(z) valea) -167 + 4ib) 41 + 0ic) -167 – 4id) 41 + 2ie) 0 + 4i

Sabendo-se que i√3 é uma das raízes da equação x⁴ + x³ + 2x² + 3x – 3 = 0, a soma de todas as raízes desta equação éa) -2i√3b) 4i√3c) 0d) -1e) -2

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a) 1017
b) 1056
c) 1078
d) 1098
e) 1121

P(x) é um polinômio de coeficientes reais e menor grau com as propriedades abaixo: • os números r1 = 1, r2 = i e r3 = 1 – i são raízes da equação P(x) = 0; • P(0) = – 4. Então, P(– 1) é igual a:
a) 4.
b) – 2.
c) – 10.
d) 10.
e) – 40.

Assinale a alternativa que apresenta o polinômio P de grau mínimo, com coeficientes reais, de modo que P(i) = 2 e P(1+i) = 0.
a) 1/5(x² – 2x + 2)
b) 2/5(x² – 2x + 2)
c) 2/5(x² – 2x + 3)
d) 1/5(x² – 2x² + 2)
e) 2/3(x² – 2x + 3)

Numa equação, encontramos o valor de 884. Para chegar a esse resultado, somamos os quadrados de dois números pares, consecutivos e positivos. Determine o quociente da divisão do maior pelo menor.
a) 0,87
b) 0,95
c) 1,03
d) 1,07
e) 1,10

Sejam x1, x2 e x3 as raízes do polinômio p(x) = x³ – x² – 14x + 24. O valor de x1² + x2² + x3² é
a) 14
b) 29
c) 38
d) 336
e) 576

Sendo i = √-1, n ∈ ℕ, z = {i8n-5 + i 4n-8}³ + 2i e P(x) = -2x³ + x² - 5x + 11 um polinômio sobre o conjunto dos números complexos, então P(z) vale
a) -167 + 4i
b) 41 + 0i
c) -167 – 4i
d) 41 + 2i
e) 0 + 4i

Sabendo-se que i√3 é uma das raízes da equação x⁴ + x³ + 2x² + 3x – 3 = 0, a soma de todas as raízes desta equação é
a) -2i√3
b) 4i√3
c) 0
d) -1
e) -2