Para calcular o valor do desconto λ que maximiza o lucro da empresa ao vender 3.200 pares de sandálias, vamos seguir os passos: 1. Custo Total (CT): O custo total de fabricação é dado por: \[ CT = 4000 + 8x \] Para \(x = 3200\): \[ CT = 4000 + 8 \times 3200 = 4000 + 25600 = 29600 \] 2. Preço de Venda (p): O preço de venda por par é dado pela função: \[ p(x) = 40 - \lambda x \] Para \(x = 3200\): \[ p(3200) = 40 - \lambda \times 3200 \] 3. Faturamento (F): O faturamento total é o preço de venda multiplicado pela quantidade vendida: \[ F = p(x) \times x = (40 - \lambda \times 3200) \times 3200 \] 4. Lucro (L): O lucro é a diferença entre o faturamento e o custo total: \[ L(x) = F - CT \] Substituindo os valores: \[ L(3200) = (40 - \lambda \times 3200) \times 3200 - 29600 \] 5. Maximização do Lucro: Para maximizar o lucro, derivamos \(L(3200)\) em relação a \(\lambda\) e igualamos a zero. A função do lucro se torna: \[ L(3200) = 128000 - 3200\lambda \times 3200 - 29600 \] Simplificando: \[ L(3200) = 128000 - 3200\lambda - 29600 \] \[ L(3200) = 98400 - 3200\lambda \] Para maximizar, derivamos: \[ \frac{dL}{d\lambda} = -3200 \] Como a derivada é negativa, o lucro diminui com o aumento de \(\lambda\). Portanto, para maximizar o lucro, devemos minimizar \(\lambda\). 6. Cálculo do Desconto: Para que a empresa obtenha lucro, o preço de venda deve ser maior que o custo variável por par. O custo variável por par é R$ 8,00. Assim, temos: \[ 40 - \lambda \times 3200 > 8 \] Resolvendo para \(\lambda\): \[ 32 > \lambda \times 3200 \] \[ \lambda < \frac{32}{3200} = 0,01 \] Portanto, o valor do desconto \(\lambda\) deve ser menor que 0,01 para que a empresa obtenha um lucro máximo vendendo 3.200 pares de sandálias.