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A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida em um dado problema.
Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor z = (3,4):
A Raiz de 5.
B 5.
C 3.
D Raiz de 10.

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Para calcular o módulo (ou norma) de um vetor no espaço, utilizamos a fórmula: \[ ||\mathbf{z}|| = \sqrt{x^2 + y^2} \] onde \(x\) e \(y\) são as componentes do vetor. No seu caso, o vetor \(z = (3, 4)\). Substituindo os valores: \[ ||\mathbf{z}|| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Agora, analisando as alternativas: A) Raiz de 5 - Incorreto. B) 5 - Correto. C) 3 - Incorreto. D) Raiz de 10 - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: B) 5.

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Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para a imagem deste operador:
a) [(1,0,0); (1,-1,0);(1,0,-1)].
b) [(0,1,0);(1,0,-1)].
c) [(0,1,0); (0,-1,0);(1,0,-1)].
d) [(0,-1,0);(1,0,-1)].

Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A respeito das transformações lineares, analise as opções a seguir:
Assinale a alternativa CORRETA:
I- T(x,y) = (x² , y²).
II- T (x,y) = (2x + 1, x + y).
III- T (x,y) = (2x + y, x - y).
IV- T (x,y) = (x, x - y).
a) Somente a opção IV está correta.
b) As opções II e III estão corretas.
c) As opções III e IV estão corretas.
d) As opções I e II estão corretas.

Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa estar na direção e sentido em que você pretende movimentá- lo ou não chegará ao resultado desejado: se desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará empurrá- lo para baixo. Isso porque a força é um exemplo de grandeza vetorial. Para descrevê- la, é preciso que se diga também o sentido e a direção em que ela é aplicada. Com relação ao vetor resultado (R) da operação -2u + 3v, sendo u = (-1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir:
Assinale a alternativa CORRETA:
I- R = (1,10,9).
II- R = (-1,-10,9).
III- R = (-5,2,9).
IV- R = (5,-2,9).
a) Somente a opção IV está correta.
b) Somente a opção I está correta.
c) Somente a opção III está correta.
d) Somente a opção II está correta.

Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na mesma direção. Ao trabalhar com a noção de espaço vetorial, duas retas são paralelas se existe um plano que as contém, e se essas retas não se tocam. Assim, elas estão na mesma direção mesmo que estejam em sentidos opostos. Para vetores, o princípio é basicamente o mesmo.
Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir: I- Os vetores (2,-1,4) e (6,-3,12) são paralelos. II- Os vetores (1,-2,4) e (2,-2,5) são paralelos. III- Os vetores (3,1,2) e (6,-2,1) são paralelos. IV- Os vetores (1,-1,2) e (2,-2,4) são paralelos. Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças I e IV estão corretas.
B As sentenças II e III estão corretas.
C As sentenças I e III estão corretas.
D Somente a sentença I está correta.

Em muitas aplicações, não é interessante trabalhar com um espaço vetorial "inteiro", mas com uma parte deste espaço, ou seja, um subespaço, que seja constituído pelas combinações lineares de um dado conjunto de vetores. Será, então, conveniente, escrever os elementos desse subespaço como combinações lineares de um conjunto que contenha o menor número possível de vetores e que estes sejam escritos de forma simplificada. Neste aspecto, podemos representar estes subespaços através de bases. Sobre os conjuntos que podem ser bases de R², classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) {(2,3),(-1,4)}.
( ) {(2,3),(-6,-9)}.
( ) {(1,5),(3,11)}.
( ) {(0,2),(0,0)}.
a) V - F - V - F.
b) V - V - F - F.
c) F - V - F - V.
d) F - F - F - V.

Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples visualização. No entanto, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores representados por coordenadas, determinar a posição dessas retas não é uma tarefa tão simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores apresentados, com relação aos ângulos agudos, analise as opções a seguir:
Assinale a alternativa CORRETA:
I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2).
II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1).
III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3).
IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4).
V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3).
a) As opções III e V estão corretas.
b) Somente a opção II está correta.
c) As opções I, III e IV estão corretas.
d) As opções I e IV estão corretas.

A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar.
( ) Os espaços vetoriais de podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares.
( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço.
( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço.
a) V - V - V - F.
b) V - F - V - F.
c) F - V - V - F.
d) V - V - F - F.

Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) F - F - V - F.
b) F - V - F - F.
c) V - V - F - V.
d) V - F - F - F.

No estudo das transformações lineares, o conceito de imagem da transformação linear é o conjunto de todos os vetores do contradomínio que são imagens de pelo menos um vetor o espaço vetorial de saída. A respeito da base para a imagem da transformação T(x,y) = (x+y, x), analise as opções a seguir:
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
I- [(1,1),(1,0)].
II- [(1,1),(0,1)].
III- [(0,1),(1,0)].
IV- [(1,1)].
a) Somente a opção III está correta.
b) Somente a opção IV está correta.
c) Somente a opção II está correta.
d) Somente a opção I está correta.

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