Avaliação II - Individual-01

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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:1629920)
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Prova 125862312
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 9/1
Nota 9,00
Durante o estudo das transformações lineares, verificamos os conceitos de núcleo e imagem de 
uma transformação. O núcleo de uma transformação linear é o subconjunto do domínio formado pelos 
vetores que são levados ao vetor nulo do contradomínio. Por sua vez, a imagem é o conjunto de 
vetores do contradomínio que são resultados da aplicação dos vetores do domínio na transformação. 
Baseado nisso, assinale alternativa CORRETA a respeito da transformação a seguir:
A O vetor (2,2) possui imagem (0,0).
B A transformação a seguir não é um operador linear.
C O vetor (1,-1) pertence ao núcleo da transformação.
D O vetor (2, 4) não pertence ao domínio da transformação.
A figura que segue, apresenta um losango EFGH inscrito em um retângulo ABCD. Sabe-se 
também que os vértices do losango são os pontos médios do retângulo. Como é de conhecimento 
também, cada segmento de reta que é criado com todas estas intersecções pode ser considerado como 
sendo as extremidades de um vetor. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F 
para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - V - F - V.
B V - F - V - V - F.
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C F - V - F - V - F.
D V - V - F - F - V.
Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços 
vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação 
linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A respeito das transformações 
lineares, analise as opções a seguir:
I- T(x,y) = (x² , y²).
II- T (x,y) = (2x + 1, x + y).
III- T (x,y) = (2x + y, x - y).
IV- T (x,y) = (x, x - y).
Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções II e III estão corretas.
B As opções I e II estão corretas.
C Somente a opção IV está correta.
D As opções III e IV estão corretas.
Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por 
exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o módulo (ou 
norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir este 
resultado por dois, pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Baseado nisso, 
determine a área do triângulo formado pelos vetores u = (2,2,1) e v = (1,1,2), analise as opções a 
seguir e assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção IV está correta.
B Somente a opção I está correta.
C Somente a opção III está correta.
D Somente a opção II está correta.
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Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de 
núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema 
encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para o Núcleo deste operador:
A [(1,0,1)].
B [(1,1,0)].
C [(0,0,1)].
D [(0,1,1)].
Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito 
mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de 
uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial 
para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., 
como também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os 
seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de 
energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, 
plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir, 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que 
apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - F - V.
B F - F - V - F.
C V - F - F - F.
D F - V - F - F.
No estudo dos espaços vetoriais, pode-se realizar a análise de sua dimensão. Pode-se relacioná-
la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações desse conceito são puramente 
utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. Sobre o exposto, classifique V para 
as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n².
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( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 3.
( ) A dimensão do R² é igual a 2.
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - V - V.
B F - F - V - V.
C V - F - F - F.
D F - V - F - V.
A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor 
analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida 
em um dado problema. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou 
módulo) do vetor z = (-2,4):
A Raiz de 20.
B 2.
C 4.
D Raiz de 10.
Ao falar das aplicações do cálculo dos autovetores e autovalores de uma matriz, podemos 
colocar as soluções de equações diferenciais que são de interesse físico, como as frequências naturais 
de vibração de um instrumento musical, ou de uma simples corda esticada. No entanto, anteriormente 
a isto, devemos compreender corretamente este conceito para que as futuras aplicações sejam 
corretas. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o conceito de autovetor de transformação:
A É um vetor que após aplicado à transformação resulta num múltiplo de si mesmo.
B É um vetor que gera uma base do núcleo da transformação.
C É um número real que anula a transformação.
D É um número real que multiplica o vetor após a transformação.
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. 
Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu 
principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a 
ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto escalar entre u = (1,0,4) e v = (1,-1,0), 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) u x v = 1.
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( ) u x v = -1.
( ) u x v = 4.
( ) u x v = -4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - F - V.
B F - F - V - F.
C V - F - F - F.
D F - V - F - F.
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