O núcleo de uma transformação linear, como já é de conhecimento, trata-se do conjunto de vetores do domínio que possuem representantes no contradomínio com valor nulo. Uma de suas principais aplicações na Álgebra Linear e Vetorial é a possibilidade de definir se uma aplicação possui a propriedade da injetividade.
Observando os vetores que pertencem ao núcleo da transformação T(x,y) = (x-y, y-x).
I- v = (1,1).
II- v = (0,1).
III- v = (-2,-2).
IV- v = (1,0).
A As opções II e III estão corretas.
B As opções II e IV estão corretas.
C As opções I e III estão corretas.
D As opções I e IV estão corretas.
Observando os vetores que pertencem ao núcleo da transformação T(x,y) = (x-y, y-x).
I- v = (1,1).
II- v = (0,1).
III- v = (-2,-2).
IV- v = (1,0).
A As opções II e III estão corretas.
B As opções II e IV estão corretas.
C As opções I e III estão corretas.
D As opções I e IV estão corretas.
Respostas
Ed 
ano passado
Para determinar quais vetores pertencem ao núcleo da transformação linear \( T(x,y) = (x-y, y-x) \), precisamos encontrar os vetores \( (x,y) \) que satisfazem \( T(x,y) = (0,0) \). Isso significa resolver o sistema: 1. \( x - y = 0 \) 2. \( y - x = 0 \) Ambas as equações são equivalentes e indicam que \( x = y \). Portanto, qualquer vetor da forma \( (k, k) \) para algum \( k \in \mathbb{R} \) pertence ao núcleo. Agora, vamos analisar cada vetor dado: I- \( v = (1,1) \): \( 1 - 1 = 0 \) (pertence ao núcleo). II- \( v = (0,1) \): \( 0 - 1 = -1 \) (não pertence ao núcleo). III- \( v = (-2,-2) \): \( -2 - (-2) = 0 \) (pertence ao núcleo). IV- \( v = (1,0) \): \( 1 - 0 = 1 \) (não pertence ao núcleo). Agora, vamos verificar as opções: A) As opções II e III estão corretas. (FALSO, pois II não está correta) B) As opções II e IV estão corretas. (FALSO, pois II e IV não estão corretas) C) As opções I e III estão corretas. (VERDADEIRO, pois I e III estão corretas) D) As opções I e IV estão corretas. (FALSO, pois IV não está correta) Portanto, a alternativa correta é: C) As opções I e III estão corretas.
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A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar.
( ) Os espaços vetoriais de podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares.
( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço.
( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço.
a) V - V - V - F.
b) V - F - V - F.
c) F - V - V - F.
d) V - V - F - F.
Considere o ponto A (1, 2). Sabe-se que o vetor OA, onde O é a origem do sistema cartesiano, e o vetor OB definem um paralelogramo. O vetor OB é obtido através de uma dilatação do vetor OA, no sentido do mesmo, de fator 3/2, seguida por uma rotação de 30° no sentido horário.
Sobre determinar a área aproximada do paralelogramo definido por esta rotação, assinale a alternativa CORRETA:
a) 5,34 u.a.
b) 10,67 u.a.
c) 3,37 u.a.
d) 2,23 u.a.
Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na mesma direção. Ao trabalhar com a noção de espaço vetorial, duas retas são paralelas se existe um plano que as contém, e se essas retas não se tocam.
Assim, elas estão na mesma direção mesmo que estejam em sentidos opostos. Para vetores, o princípio é basicamente o mesmo. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:
I- Os vetores (2,-1,4) e (6,-3,12) são paralelos.
II- Os vetores (1,-2,4) e (2,-2,5) são paralelos.
III- Os vetores (3,1,2) e (6,-2,1) são paralelos.
IV- Os vetores (1,-1,2) e (2,-2,4) são paralelos.
a) As sentenças I e IV estão corretas.
b) As sentenças I e III estão corretas.
c) Somente a sentença I está correta.
d) As sentenças II e III estão corretas.
Na construção civil é muito importante tomar cuidados com os chamados "estados limites". No projeto, usualmente devem ser considerados os estados limites últimos caracterizados por:
A figura a seguir mostra a representação de um deslocamento horizontal excessivo em uma parede de alvenaria:
a) T(x,y) = k(x,y), com k > 1.
b) T(x,y) = (-x,y).
c) T(x,y) = (kx,y), com k>1.
d) T(x,y) = (x,ky), com k>1.
Pela definição de vetor, sabemos que dados dois pontos e um sentido podemos determinar o vetor que liga estes dois pontos e possui a direção indicada. Através deste processo podemos mais tarde ter um apoio no estudo das retas e planos no espaço.
Baseado nisso, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o vetor u definido pelos pontos A = (1,0,-3) e B = (2,4,1), no sentido de B para A:
a) u = (-1,-4,-4).
b) u = (0,-4,-4).
c) u = (-1,-4,2).
d) u = (-1,-4,-2).
A figura a seguir apresenta a representação de um cubo de vértices nos pontos do espaço A, B, C, D, E, F, G e H. Neste cubo, imagine vetores, todos com origem no vértice A, e com extremidades em todos os outros vértices (excetuando-se A).
Sobre as informações na imagem, assinale a alternativa CORRETA:
a) AD.
b) AB.
c) AC.
d) AE.
No estudo da Álgebra Linear e Vetorial surge o conceito de autovalores e autovetores. Teoricamente, um autovetor de uma transformação é um vetor que quando aplicado na transformação, resulta um múltiplo de si próprio, sendo que a este fator multiplicativo, damos o nome de autovalor. Estes conceitos possuem diversas aplicações práticas, principalmente na Engenharia.
Baseado nisso, dada a transformação T(x,y) = (2x, y) analise as sentenças a seguir:
I- v = (1,0) é um autovalor de T, com autovalor igual a 2.
II- v = (0,1) é um autovalor de T, com autovalor igual a 2.
III- T possui um autovalor de multiplicidade algébrica 1.
IV- T possui dois autovalores de multiplicidade algébrica 1.
a) As opções II e III estão corretas.
b) As opções I e III estão corretas.
c) As opções I e IV estão corretas.
d) As opções II e IV estão corretas.
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