determine a expressao da derivada y' para a função y=fx dada implicitamente pela expresssao y³x2+13=3x²-2y+3x³

pense na regra da cadeia, temos y³x²+13=3x²-2y+3x³, vamos derivar com relação à x, porem, sabemos que y=y(x), logo y é função de x, sendo assim é um derivada implícita, teremos que aplicar entao a regra da cadeia, temos entao : 3y²*(y')*x²+y³*2x+0=6x-2y'+9x², isolamos os y' para um só membro, 3y²x²(y')+2y'=9x²+6x-2y³x, (y')(3y²x²+2)=9x²+6x-2y³x, logo teremos que o valor de y' = ((9x²+6x-2y³x)/(3y²x+2)), a ideia mesmo é pensar na regra da cadeia e ir debulhando a expressão, espero ter ajudado!

Do lado esquerdo da igualdade, teremos uma derivação comum:

\(6x - 2\frac{dy}{dx} + 9x^2\)

Do lado direito, devemos aplicar regra do produto em \(y^3 x^2\):

\(3y^2 x^2 \frac{dy}{dx} + 2y^3x\)

Isolando o termo \(\frac{dy}{dx}\), devemos ter:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{9x^2 - 2y^3x + 6x}{3x^2y^2 +2}\)

Logo, teremos:

\(\boxed{y'(x) = \frac{9x^2 - 2y^3x + 6x}{3x^2y^2 +2} }\)