Para resolver os limites apresentados, vamos analisar cada um deles. (a) \( \lim_{x \to 0^+} x^x \) Esse limite é uma indeterminação do tipo \( 0^0 \). Podemos reescrever \( x^x \) como \( e^{x \ln(x)} \). Assim, precisamos calcular o limite de \( x \ln(x) \) quando \( x \to 0^+ \): \[ \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{1/x} \] Aplicando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} -x = 0 \] Portanto, \( \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0 \) e, consequentemente: \[ \lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1 \] (b) \( \lim_{x \to \infty} (1 + 2x)^{\frac{1}{2 \ln(x)}} \) Esse limite é uma indeterminação do tipo \( \infty^{0} \). Podemos reescrever a expressão como: \[ \lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{2 \ln(x)} \ln(1 + 2x)} \] Agora, precisamos calcular o limite de \( \frac{\ln(1 + 2x)}{2 \ln(x)} \) quando \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1 + 2x)}{2 \ln(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(2x)}{2 \ln(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(2) + \ln(x)}{2 \ln(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(2)}{2 \ln(x)} + \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \] Portanto, temos: \[ \lim_{x \to \infty} (1 + 2x)^{\frac{1}{2 \ln(x)}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e} \] Resumindo: (a) \( \lim_{x \to 0^+} x^x = 1 \) (b) \( \lim_{x \to \infty} (1 + 2x)^{\frac{1}{2 \ln(x)}} = \sqrt{e} \)