Devemos encontrar a área do paraboloide e para isso realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & x=u \\ & y=v \\ & z={{u}^{2}}+{{v}^{2}} \\ & r(u,v)=ui+vj+({{u}^{2}}+{{v}^{2}})k \\ & \\ & A=\int_{{}}^{{}}{\int_{{}}^{{}}{ru\times rv}dudv} \\ & ru=(1,0,2u) \\ & rv=(0,1,2v) \\ & ru\times ru=(-2u,-2v,1) \\ & \left| ru\times ru \right|=\sqrt{4{{u}^{2}}+4{{v}^{2}}+1} \\ & \\ & A=\int_{{}}^{{}}{\int_{{}}^{{}}{\sqrt{4{{u}^{2}}+4{{v}^{2}}+1}}dudv} \\ & A=\int_{0}^{2\pi }{\int_{0}^{1}{\sqrt{4{{r}^{2}}+1}}drd\theta } \\ & A=\frac{\pi }{12}\left( 65\sqrt{65}-1 \right) \\ \end{align}\ \)

Portanto, a área da superfície será \(\boxed{A = \frac{\pi }{{12}}\left( {65\sqrt {65} - 1} \right)}\).