Sejam v=(2,-1,3) e w=(4,-1,2). Encontre dois vetores v1 e v2 tais que v=v1 + v2, v1 é paralelo a w e v2 é ortogonal a w.

V1=( a, b, c)   e V2=(x,y,z)   como v= v1 + v2 então, V=(a,b,c) +(x,y,z) que fica (2,-1,3)= (a+x,b+y, c+z),igualando temos

• a+x=2 isolando x=2-a
• b+y=-1 isolando y=-1-b
• c+z=3 isolando z=3-c

                                                                                                                                                                     Como sabemos que v1 é paralelo a w, então ele deve satisfazer a condição de paralelismo que é

• v1/w=k                                                                                                                                

 ,ou seja,

a/4=b/(-1)=c/2=k, se isolarmos os termos fica

• a/4=-b, então a= -4b;
• -b=c/2, então c=-2b 

Se voltarmos lá na primeira equação e substituirmos por esses valores que encontramos, conseguimos deixar x y e z em funçao de b, ficando assim 

•  x=2-a, então x=2-(-4b) .... x=2+4b
•  y=-1-b
• z=3-c, então z=3-(-2b)... z=3+2b

Como sabemos tambem que v2 é ortogonal a w, então satisfazendo a condição de ortoganalidade             v2*w=0       , que fica 

• x*4 + y*(-1) +z*3=0  simplificando, 4*x -y +3*z=0

Como temos x, y e z em função de b, basta substituir na equação acima, que fica 

 4*x -y +3*z=0, então  4*(2+4b) -(-1-b)+3*(3+2b)= 0, desenvolvendo a equação temos 8+16b+1+b+9+6b=0, agora basta isolar b...

• b=-18/23 

COMO TEMOS O VALOR DE b AGORA É SÓ VOLTAR E SUBSTITUIR PARA ENCONTRAR OS OUTROS VALORES PROCURADOS 

• x=2+4b ... x = 2+4*(-18/23)
• y=-1-b... y=-1-(-18/23)
• z=3+2b... z=3+2*(-18/23)
• a= -4b .... a=-4*(-18/23)
•  c=-2b .... c=-2*(-18/23)

Assim temos x=-26/23, y=-5/23, z= 33/23  e a=72/11, b=-18/23, c=36/11

R: v1=(-26/23, -5/23, 33/23) e v2=(72/11,-18/23,36/11)