Em cada item a seguir, encontre um δ tal que |f(x) − l| < ε para todo x satisfazendo 0 < |x − a| < δ.

VOU PROCURAR

Temos que:

\(|f(x)-l|<\varepsilon\)

Para a função dada, temos:

\(|x^4-a^4|<\varepsilon\Rightarrow a^4-\varepsilon<x^4<a^4+\varepsilon\)

Vamos reescrever como um sistema de inequações:

\(\left\{\begin{align} x^4>a^4-\varepsilon\\ x^4<a^4+\varepsilon \end{align}\right.\)

O que nos leva a:

\(\left\{\begin{align} -\sqrt[4]{a^4+\varepsilon}<&x<-\sqrt[4]{a^4-\varepsilon}\\\sqrt[4]{a^4-\varepsilon}<&x<\sqrt[4]{a^4+\varepsilon} \end{align}\right.\)

Deixando \(a\) em evidência em todos os radicais, temos:

\(\left\{\begin{align} -a\sqrt[4]{1+{\varepsilon\over a^4}}<&x<-a\sqrt[4]{1-{\varepsilon\over a^4}}\\ a\sqrt[4]{1-{\varepsilon\over a^4}}<&x<a\sqrt[4]{1+{\varepsilon\over a^4}} \end{align}\right.\)

Tomando apenas o primeiro termo da série de Taylor, isto é, fazendo \(x\ll 1\), temos:

\((1+x)^n\approx1+nx\)

Fazendo \(x={\varepsilon\over a^4}\) e \(n={1\over4}\), temos:

\(\left\{\begin{align} -a\left(1+{\varepsilon\over 4a^4}\right)<&x<-a\left(1-{\varepsilon\over 4a^4}\right)\\ a\left(1-{\varepsilon\over 4a^4}\right)<&x<a\left(1+{\varepsilon\over 4a^4}\right) \end{align}\right.\)

Multiplicando, temos:

\(\left\{\begin{align} -a-{\varepsilon\over 4a^3}<&x<-a+{\varepsilon\over 4a^3}\\ a-{\varepsilon\over 4a^3}<&x<a+{\varepsilon\over 4a^3}\end{align}\right.\)

O que nos leva a:

\(\left\{\begin{align} 0<&|x+a|<{\varepsilon\over 4a^3}\\ 0<&|x-a|<{\varepsilon\over 4a^3}\end{align}\right.\)

O que precisamos está na segunda equação, isto é:

\(0<|x-a|<{\varepsilon\over 4a^3}\Rightarrow \boxed{\delta={\varepsilon\over4a^3}}\)