y"+3y'+2x=0

é pra derivar dx dy ?

Olá! Vamos resolver esta equação diferencial!

A equação diferencial y''+3y'+2x=0 é uma equação diferencial ordinária, EDO, de segunda ordem linear não-homogênea com coeficientes constantes. Vamos inicialmente reescrever esta equação da seguinte maneira:

y''+3y'+2x=0

y''+3y'=-2x

A solução geral desta equação é do tipo:

y=y_h+y_p

Sendo então a função uma soma de uma parcela h referente à parcela homogênea da EDO, e uma parcela p, referente à parcela particular não homogênea desta EDO.

Resolveremos então agora a primeira parcela, para a parcela homogênea desta EDO:

y''+3y'=0

Esta EDO é uma EDO homogênea de segunda ordem, e possui uma solução generalizada do tipo . Substituindo esta solução na equação, teremos:

Observe que as possíveis soluções desta equação são:

Como as duas raízes são diferentes, então esta EDO possui como parte homogênea a seguinte solução:

Agora trabalharemos com a parte p, particular desta EDO. Para uma equação não-homogênea, temos que se g(x)=-2x, a solução geral desta EDO é do tipo:

Substituindo esta solução geral na EDO e resolvendo, teremos:

Agora, deveremos resolver e encontra a0 e a1. Primeiramente vamos encontrar o tempo dependente de x, que é mais simples neste caso! Observe na igualdade os termos dependentes, teremos:

Agora faremos a mesma coisa com o termo independente, assim encontraremos a1:

Voltando na solução particular e substituindo os valores de a0 e a1 encontrados, teremos:

Finalmente, agora, iremos juntar as respostas que encontramos y=y_h+y_p para encontrar a resposta deste problema:

E esta é a resposta desta EDO.

Bons estudos!