escreve-se os inteiros de 1 ate 222.222. Quantas vezes o zero é escrito ?

Comece pensando assim, quantos números menores que 222222, usam apenas um único algarismo zero em sua composição?

Com 6 dígitos (maiores que 99999 e menores que 222222):
(fixe o primeiro "1" ou o primeiro "2" e some os produtos) = 43364
Com 5 dígitos (maiores que 9999 mas menores que 99999): 
4 * 9 * 9 * 9 * 9 = 26244
Com 4 dígitos (maiores que 999 mas menores que 9999):
3 * 9 * 9 * 9 = 2187
Com 3 dígitos (maiores que 99 mas menores que 999):
2 * 9 * 9 = 162
Com 2 dígitos (maiores que 9 mas menores que 99):
1 * 9 = 9
Some tudo, 43364 + 26244 + 2187 + 162 + 9 = 71966
Assim, existem 71966 números menores que 222222 e que usam exatamente um único zero.

Repita o mesmo processo para encontrar números com 2 algarismos zeros, 3 algarismos zeros, etc. até 5 algarismos zeros. 
E some todas as combinações. Você deverá encontrar:

15608 números com exatamente 2 algarismos zeros, que resultam em mais 31216 zeros.

1694 números com exatamente 3 algarismos zeros, que resultam em mais 5082 zeros.

92 números com exatamente 4 algarismos zeros, que resultam em mais 368 zeros.

2 números com exatamente 5 algarismos zeros, que resultam em mais 10 zeros.

Somando todos os zeros:

71966 + 31216 + 5082 + 368 + 10 = 108642 zeros.

gostei do modo como voce resolveu essa questao !