Para resolver essa questão, vamos analisar as alternativas com base na propriedade de que se \( X \) é enumerável e \( f: X \rightarrow Y \) é sobrejetiva, então \( Y \) também deve ser enumerável. A sobrejetividade de \( f \) implica que para cada elemento em \( Y \), existe pelo menos um elemento em \( X \) que é mapeado para ele. Portanto, se \( X \) é enumerável, \( Y \) também será enumerável. Agora, vamos analisar as alternativas: A) Como \( h \) é sobrejetiva, e \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) é enumerável, logo têm-se que \( \mathbb{X} \times \mathbb{Y} \) é enumerável. - Esta afirmação não é correta, pois a sobrejetividade de \( h \) não garante que o produto cartesiano \( \mathbb{X} \times \mathbb{Y} \) seja enumerável. B) Como \( h \) é injetiva, e \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) não é enumerável, logo têm-se que \( \mathbb{X} \times \mathbb{Y} \) também não é enumerável. - Esta afirmação é falsa, pois \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) é, na verdade, enumerável. C) Como \( h \) é injetiva, e \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) é enumerável, logo têm-se que \( \mathbb{X} \times \mathbb{Y} \) é enumerável. - Esta afirmação é verdadeira, pois se \( h \) é injetiva e \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) é enumerável, então o produto cartesiano também será enumerável. D) Como \( h \) é sobrejetiva, e \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) não é enumerável, logo têm-se que \( \mathbb{X} \times \mathbb{Y} \) também não é enumerável. - Esta afirmação é falsa, pois \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) é enumerável. Portanto, a alternativa correta é: C) Como \( h \) é injetiva, e \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) é enumerável, logo têm-se que \( \mathbb{X} \times \mathbb{Y} \) é enumerável.