Grátis: Seja $U=\{1,2,3,4,5\}$ um conjunto com 5 elementos e sejam $A, B$ e $C$ subconjuntos de $U$. Dizemos que $(A, B, C)$ é uma tripla ordenada especial...

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Seja $U=\{1,2,3,4,5\}$ um conjunto com 5 elementos e sejam $A, B$ e $C$ subconjuntos de $U$. Dizemos que $(A, B, C)$ é uma tripla ordenada especial se $C \subseteq A \cup B$. Quantas são as triplas ordenadas especiais?
A) $5^{7}$
B) $5^{6}$
C) $6^{5}$
D) $5^{5}$
E) $7^{5}$

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prova obmep 2025

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Para resolver essa questão, precisamos entender o que significa que $ (A, B, C) $ é uma tripla ordenada especial sob a condição $ C \subseteq A \cup B $. 1. Conjunto $ U $: Temos $ U = \{1, 2, 3, 4, 5\} $, que possui 5 elementos. 2. Subconjuntos $ A $ e $ B $: Cada elemento de $ U $ pode estar em $ A $, em $ B $ ou em nenhum dos dois. Portanto, para cada um dos 5 elementos, temos 3 opções (estar em $ A $, estar em $ B $ ou estar em ambos). 3. Subconjunto $ C $: O conjunto $ C $ deve ser um subconjunto de $ A \cup B $. O número de elementos em $ A \cup B $ pode variar, mas, no pior caso, todos os 5 elementos de $ U $ podem estar em $ A \cup B $. Assim, para cada elemento de $ U $, temos 2 opções: ele pode estar em $ C $ ou não. Agora, vamos calcular: - Para $ A $ e $ B $: Cada um dos 5 elementos tem 3 opções, então o total de combinações para $ A $ e $ B $ é $ 3^5 $. - Para $ C $: Cada um dos 5 elementos tem 2 opções (estar em $ C $ ou não), então o total de combinações para $ C $ é $ 2^5 $. Portanto, o total de triplas ordenadas especiais $ (A, B, C) $ é dado por: \[ 3^5 \times 2^5 = 243 \times 32 = 7776 \] Agora, precisamos verificar qual das alternativas corresponde a esse resultado. Calculando as alternativas: A) $ 5^{7} = 78125 $ B) $ 5^{6} = 15625 $ C) $ 6^{5} = 7776 $ D) $ 5^{5} = 3125 $ E) $ 7^{5} = 16807 $ A alternativa correta é a C) $ 6^{5} $.

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A) 30
B) 16
C) 21
D) 3
E) 8

O número obtido subtraindo um inteiro positivo $k$ do numerador e do denominador da fração $\frac{2026}{2025}$ é igual a $\frac{2025}{2026}$. Qual é a soma dos algarismos de $k$ ?
A) 10
B) 33
C) 42
D) 44
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C) 3 e 6
D) 4 e 5
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A) 8 litros
B) 6 litros
C) 9 litros
D) 5 litros
E) 7 litros

A cor de cada número de um relógio alterna de preto para branco ou de branco para preto, cada vez que qualquer um dos ponteiros aponta para a marca da hora que esse número representa no relógio. À meia-noite todos os números ficam pretos e, depois, a alternância de cores começa. Na figura, vemos as cores dos números do relógio em alguns horários. Como estarão as cores dos números às 3 h 30 min ?
A)
A imagem mostra um relógio com os números 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 e 11 em preto e os números 3, 6, 9 e 12 em branco.

B)
A imagem mostra um relógio com os números 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10 e 11 em preto e os números 5 e 12 em branco.

C)
A imagem mostra um relógio com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11 em preto e o número 12 em branco.

D)
A imagem mostra um relógio com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 12 em preto e o número 11 em branco.

E)
A imagem mostra um relógio com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 em preto.

Na figura, $A B C D$ é um quadrado. Os ângulos $E F D, G F C$ e $B G H$ possuem a mesma medida. Além disso, $E F=3, F G=5$ e $G H=2$. Qual é a área do quadrado?
A) 18
B) 20
C) 23
D) 25
E) 16

Jairo tem muitas cordas com 2 metros cada uma. Quando ele amarra duas dessas cordas, ele obtém uma nova corda com 3 metros e 70 centímetros. Se ele quiser uma corda com exatamente 20 metros, ele precisará cortar um pedaço da última corda amarrada. Qual é o tamanho, em metros, desse pedaço?
A) 0,70
B) 0,45
C) 0,30
D) 0,15
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Uma função $f$ é tal que $f\left(\frac{x}{y}\right)=y f(x)$ para quaisquer números reais $x$ e $y$ diferentes de zero. Se $f(6)=4$, qual é o valor de $f(3)$ ?
A) 3
B) 6
C) 8
D) 24
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A) $2 \pi$
B) $\pi / 2$
C) $3 \pi$
D) $\pi / 3$
E) $\pi$

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A) 110
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C) $7 \mathrm{~cm}^{2}$
D) $5 \mathrm{~cm}^{2}$
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Pasqual tem um dado numerado de 1 a 6. Qual é a probabilidade de que o produto dos números obtidos em três lançamentos deste dado seja 60?
A) $1 / 36$
B) $1 / 60$
C) $1 / 24$
D) $1 / 48$

Considere o sistema $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y=1 \\ y^{2}+x=1\end{array}\right\}$. Qual é a soma de todos os valores $x$ tais que $(x, y)$ é solução desse sistema?
A) -1
B) 0
C) 45
D) -45
E) 1

Quantos dados diferentes existem com faces pretas, brancas ou vermelhas em que faces opostas quaisquer tenham cores diferentes e as três cores apareçam em cada dado?
A) 8
B) 16
C) 22
D) 36
E) 6

Dizemos que um número é ordeiro quando tem exatamente três algarismos diferentes de zero que estão em ordem crescente ou decrescente de valor. Por exemplo, os números 237 e 921 são ordeiros, mas os números 231 e 315 não são. Qual é a soma de todos os números ordeiros?
A) 93240
B) 93260
C) 93230
D) 93270
E) 93250

Dizemos que uma família é amistosa se ela possui 10 membros e cada um deles conhece exatamente 5 outros membros. Qual é o menor valor de $k$ para garantir que sempre em um grupo de $k$ pessoas de qualquer família amistosa seja possível encontrar duas que se conheçam?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 3

Um prêmio foi dado a uma de cinco pessoas, dispostas em fila. Cada uma delas disse uma das seguintes frases: Eu não ganhei o prêmio. Quem ganhou o prêmio está na minha frente ou atrás de mim. Somente uma delas disse a verdade. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
A) É possível que três pessoas tenham dito Eu não ganhei o prêmio.
B) A pessoa que ganhou o prêmio foi a segunda ou a quarta.
C) A pessoa que ganhou o prêmio foi a primeira ou a quinta.
D) Qualquer pessoa pode ter ganho o prêmio.
E) A terceira pessoa ganhou o prêmio.

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Na figura, $A B C D$ é um quadrado. Os ângulos $E F D, G F C$ e $B G H$ possuem a mesma medida. Além disso, $E F=3, F G=5$ e $G H=2$. Qual é a área do quadrado?A) 18B) 20C) 23D) 25E) 16

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A figura mostra duas circunferências concêntricas. $O$ segmento $A B$ é tangente à circunferência interior e tem comprimento 2. Qual é a área da região cinza?A) $2 \pi$B) $\pi / 2$C) $3 \pi$D) $\pi / 3$E) $\pi$

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