Seja \(\int \sec ^2\left(x\right)\cdot \:3xdx\)
Vamos tirar o 3 da integral uma vez que ele é constante
\(3\int \sec ^2\left(x\right)\cdot \:xdx\)
Para resolver essa integral, podemos utilizar integração por partes:
\(\int f(x).g'(x)dx=f(x).g(x)+g(x).f'(x)\)
Assim, seja f(x)=x e g'(x)=\(sec^2x\) e sabendo que a derivada da tangente é \(sec^2x\), temos:
\(3\left(x\tan \left(x\right)-\int \:1\cdot \tan \left(x\right)dx\right)=3\left(x\tan \left(x\right)-\int \tan \left(x\right)dx\right)\)
Mas
\(\int \tan \left(x\right)dx=-\ln \left|\cos \left(x\right)\right|\)
Assim:
\(3\left(x\tan \left(x\right)-\int \tan \left(x\right)dx\right)=3\left(x\tan \left(x\right)-\left(-\ln \left|\cos \left(x\right)\right|\right)\right)\)
\(3\left(x\tan \left(x\right)-\left(-\ln \left|\cos \left(x\right)\right|\right)\right)=3\left(x\tan \left(x\right)+\ln \left|\cos \left(x\right)\right|\right)\)
Portanto
\(\boxed{\int \sec ^2\left(x\right)\cdot \:3xdx=3\left(x\tan \left(x\right)+\ln \left|\cos \left(x\right)\right|\right)}\)
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