Geometria Analitica, Reta e Plano, preciso de ajuda numa questão!

https://www.passeidireto.com/arquivo/1197729/geometria-analitica-um-tratamento-vetorial---3-edicao--ivan-de-camargo---paulo-b

A cima o link do livro Boulos nele tem tudo sobre g.a inclusive oque vc procura.

Primeiro vamos determinar a intersecção entre \(\pi_1\) e \(\pi_2\). Tomando \(z=\lambda\), temos:

\(2x-2y=15-\lambda\\ 2x+y=2\lambda\)

Subtraindo a primeira da segunda, temos:

\(3y=-15+3\lambda\Rightarrow y=\lambda-5\)

Substituindo na primeira equação, temos:

\(2x=2y+15-\lambda=2\lambda-10+15-\lambda=\lambda+5\Rightarrow x={5\over2}+{1\over2}\lambda\)

Resumindo:

\(x = {5\over2}+{1\over2}\lambda\\ y = \lambda-5\\ z = \lambda\)

Escrevendo no formato vetorial, temos:

\(\vec{r}=\left({5\over2},-5,0\right)+\lambda\left({1\over2},1,1\right)\)

Os componentes do vetor diretor indicam os coeficientes da equação do plano perpendicular a ela, que, no caso, contém o quadrado:

\({1\over2}x+1y+1z=d\)

Sabemos que o ponto A dado pertence ao plano do quadrado:

\({1\over2}\cdot0-19+4=d\Rightarrow d=-15\Rightarrow {1\over2}x+y+z+15=0\Rightarrow x+2y+2z+30=0\)

Como a intersecção dos dois planos é perpendicular ao plano do quadrado, os lados contidos nos planos devem ser perpendiculares. Vamos começar por escrever os pontos gerais pertencentes a cada um dos planos:

\(\pi_1: B=\left(x,y,15-2x+2y\right)\\ \pi_2: D=\left(x,y,x+{1\over2}y\right)\)

Mas ambos os pontos pertencem ao plano previamente determinado. Vamos começar pelo ponto B:

\(\begin{align} x+2y+2(15-2x+2y)+30&=0\\ -3x+6y+60&=0\\ -x+2y+20&=0\\ y &= {1\over2}x-10 \end{align}\)

Para o ponto D, temos:

\(\begin{align} x+2y+2\left(x+{1\over2}y\right)+30&=0\\ 3x+3y+30&=0\\ x+y+10&=0\\ y&=-x-10 \end{align}\)

O que nos leva aos seguintes pontos gerais para cada vértice:

\(\pi_1: B=\left(x,{1\over2}x-10,-x-5\right)\\ \pi_2: D=\left(x,-x-10,{1\over2}x-5\right)\)

Como temos um quadrado, o produto escalar entre os vetores deve ser nulo:

\(\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0\)

Para os vetores AB e AD, temos:

\(\vec{AB}=\left(x_B-0,{1\over2}x_B-10+19,-x_B-5-4\right)=\left(x_B,{1\over2}x_B+9,-x_B-9\right)\\ \vec{AD}=\left(x_D-0,-x_D-10+19,{1\over2}x_D-5-4\right)=\left(x_D,-x_D+9,{1\over2}x_D-9\right)\)

Substituindo os vetores, temos:

\(\left(x_B,{1\over2}x_B+9,-x_B-9\right)\cdot\left(x_D,-x_D+9,{1\over2}x_D-9\right)=0\)

Expandindo, temos:

\(x_Bx_D+\left({1\over2}x_B+9\right)(-x_D+9)+(-x_B-9)\left({1\over2}x_D-9\right)=0\)

Expandindo os binômios e multiplicações, temos:

\(x_Bx_D+\left(-{1\over2}x_Bx_D+{9\over2}x_B-9x_D+81\right)+\left(-{1\over2}x_Bx_D-{9\over2}x_D+9x_B+81\right)=0\)

Juntando os termos equivalentes, temos:

\({27\over2}x_B-{27\over2}x_D+2\cdot81=0\)

Simplificando os coeficientes:

\(x_B=x_D-12\)

Tomando \(x_B=b\), temos, por enquanto, os seguintes vértices:

\(A = (0,-19,4)\\ B = \left(b,{1\over2}b-10,-b-5\right)\\ C = (x,y,z)\\ D = \left(b+12,-b-22,{1\over2}b+1\right) \)

Sabemos que AD é paralelo a BC:

\(\vec{AD}=\vec{BC}\)

Substituindo os vetores, temos:

\(\left(b+12,-b-3,{1\over2}b-3\right)=\left(x-b,y-{1\over2}b+10,z+b+5\right)\)

A partir de cada uma das equações, temos:

\(b+12=x-b\Rightarrow x=2b+12\\ -b-3=y-{1\over2}b+10\Rightarrow y=-{1\over2}b-13\\ {1\over2}b-3=z+b+5\Rightarrow z=-{1\over2}b-8\)

Reescrevendo os pontos, temos:

\(A = (0,-19,4)\\ B = \left(b,{1\over2}b-10,-b-5\right)\\ C = \left(2b+12,-{1\over2}b-13,-{1\over2}b-8\right)\\ D = \left(b+12,-b-22,{1\over2}b+1\right)\)

Desses pontos, somente garantimos que B pertença ao plano \(\pi_1\), mas é necessário que um lado pertença a esse plano. Por verificação, percebemos que A, que é dado, não pertence ao plano, então temos que garantir que C pertença:

\(\begin{align} 2x-2y+z&=15\\ 2\left(2b+12\right)-2\left(-{1\over2}b-13\right)+\left(-{1\over2}b-8\right)&=15\\ \left(4b+24\right)+\left(b+26\right)+\left(-{1\over2}b-8\right)&=15\\ 8b+48+2b+52-b-16&=30\\ 9b&=-54\\ b&=-6 \end{align}\)

Finalmente, substituindo nas expressões dos pontos já obtidas, temos:

\(\boxed{A = (0,-19,4)\\ B = \left(-6,-13,1\right)\\ C = \left(0,-10,-5\right)\\ D = \left(6,-16,-2\right)}\)