Determine a distância do ponto $P(2,-3)$ à reta de equação $y=2 x+1$

Para determinar a distância do ponto \( P(2, -3) \) à reta de equação \( y = 2x + 1 \), podemos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta. A equação da reta pode ser reescrita na forma geral \( Ax + By + C = 0 \): 1. A equação \( y = 2x + 1 \) pode ser rearranjada para \( 2x - y + 1 = 0 \). Assim, temos: - \( A = 2 \) - \( B = -1 \) - \( C = 1 \) 2. A fórmula da distância \( d \) de um ponto \( (x_0, y_0) \) à reta \( Ax + By + C = 0 \) é dada por: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] 3. Substituindo \( P(2, -3) \) na fórmula: - \( x_0 = 2 \) - \( y_0 = -3 \) Então, calculamos: \[ d = \frac{|2(2) + (-1)(-3) + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|4 + 3 + 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|8|}{\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}} \] 4. Para simplificar, podemos multiplicar o numerador e o denominador por \( \sqrt{5} \): \[ d = \frac{8\sqrt{5}}{5} \] Portanto, a distância do ponto \( P(2, -3) \) à reta \( y = 2x + 1 \) é \( \frac{8\sqrt{5}}{5} \).