"A distância do ponto (2;m) à reta x-y = 0 é √8. Determine o valor de m"

Para determinar o valor de \( m \) na distância do ponto \( (2, m) \) à reta \( x - y = 0 \), que pode ser reescrita como \( y = x \), utilizamos a fórmula da distância de um ponto a uma reta. A fórmula da distância \( d \) de um ponto \( (x_0, y_0) \) à reta \( Ax + By + C = 0 \) é dada por: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] No caso da reta \( x - y = 0 \), temos \( A = 1 \), \( B = -1 \) e \( C = 0 \). O ponto é \( (2, m) \). Substituindo na fórmula: \[ d = \frac{|1 \cdot 2 + (-1) \cdot m + 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - m|}{\sqrt{2}} \] Sabemos que a distância é \( \sqrt{8} \): \[ \frac{|2 - m|}{\sqrt{2}} = \sqrt{8} \] Multiplicando ambos os lados por \( \sqrt{2} \): \[ |2 - m| = \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4 \] Agora, temos duas equações a resolver: 1. \( 2 - m = 4 \) 2. \( 2 - m = -4 \) Resolvendo a primeira: \[ 2 - m = 4 \implies -m = 4 - 2 \implies -m = 2 \implies m = -2 \] Resolvendo a segunda: \[ 2 - m = -4 \implies -m = -4 - 2 \implies -m = -6 \implies m = 6 \] Portanto, os valores de \( m \) que satisfazem a condição são \( m = -2 \) e \( m = 6 \).