Para determinar a quantidade de doses que maximiza o lucro, precisamos primeiro entender a função de lucro. O lucro \( L(x) \) pode ser expresso como: \[ L(x) = R(x) - C(x) \] onde \( R(x) \) é a receita total e \( C(x) \) é o custo total de produção. A receita total \( R(x) \) é dada pelo preço de venda multiplicado pela quantidade vendida: \[ R(x) = 200x \] O custo total de produção é dado pela função: \[ C(x) = 5,10^{5} + 8,10x + 3,10^{-3}x^{2} \] Assim, a função lucro fica: \[ L(x) = 200x - (5,10^{5} + 8,10x + 3,10^{-3}x^{2}) \] Simplificando, temos: \[ L(x) = 200x - 5,10^{5} - 8,10x - 3,10^{-3}x^{2} \] \[ L(x) = (200 - 8,10)x - 3,10^{-3}x^{2} - 5,10^{5} \] \[ L(x) = 191,90x - 3,10^{-3}x^{2} - 5,10^{5} \] Para encontrar o máximo do lucro, precisamos derivar \( L(x) \) em relação a \( x \) e igualar a zero: \[ L'(x) = 191,90 - 2 \cdot 3,10^{-3}x \] Igualando a zero: \[ 191,90 - 2 \cdot 3,10^{-3}x = 0 \] \[ 2 \cdot 3,10^{-3}x = 191,90 \] \[ x = \frac{191,90}{2 \cdot 3,10^{-3}} \] \[ x \approx 30800 \] Como a capacidade de produção varia de 0 a 30000 unidades, o valor máximo que podemos produzir é 30000 doses. Portanto, a resposta correta é: b. 30000 doses.