Para calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores \( \mathbf{a} = (1,2,1) \), \( \mathbf{b} = (7,4,3) \) e \( \mathbf{c} = (4,6,2) \), utilizamos o produto misto, que é dado por: \[ V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| \] Primeiro, precisamos calcular o produto vetorial \( \mathbf{b} \times \mathbf{c} \): \[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 7 & 4 & 3 \\ 4 & 6 & 2 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante, temos: \[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \mathbf{i}(4 \cdot 2 - 3 \cdot 6) - \mathbf{j}(7 \cdot 2 - 3 \cdot 4) + \mathbf{k}(7 \cdot 6 - 4 \cdot 4) \] \[ = \mathbf{i}(8 - 18) - \mathbf{j}(14 - 12) + \mathbf{k}(42 - 16) \] \[ = \mathbf{i}(-10) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(26) \] \[ = (-10, -2, 26) \] Agora, calculamos o produto escalar \( \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \): \[ \mathbf{a} \cdot (-10, -2, 26) = 1 \cdot (-10) + 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 26 \] \[ = -10 - 4 + 26 = 12 \] Portanto, o volume do paralelepípedo é: \[ V = |12| = 12 \] Assim, a alternativa correta é: B) Volume do paralelepípedo = 12.