Vamos analisar cada proposição com base no Teorema de Pitágoras: I. Um triângulo retângulo possui uma hipotenusa de 13 cm e um dos catetos mede 5 cm. A medida do outro cateto pode ser calculada e será igual a 12 cm. - Usando o Teorema de Pitágoras: \( a^2 + b^2 = c^2 \), onde \( c \) é a hipotenusa. Aqui, \( 5^2 + b^2 = 13^2 \) resulta em \( 25 + b^2 = 169 \), então \( b^2 = 144 \) e \( b = 12 \). Esta proposição está correta. II. Em um triângulo retângulo, se os catetos medem 6 cm e 8 cm, podemos encontrar a hipotenusa. A medida da hipotenusa será igual a 10 cm. - Usando o Teorema de Pitágoras: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \) resulta em \( 36 + 64 = c^2 \), então \( c^2 = 100 \) e \( c = 10 \). Esta proposição está correta. III. Em um triângulo retângulo, se a hipotenusa mede 15 cm e ambos os catetos são iguais, a medida de cada cateto será de aproximadamente 7,5 cm. - Se os catetos são iguais, chamamos de \( x \). Usando o Teorema de Pitágoras: \( x^2 + x^2 = 15^2 \) resulta em \( 2x^2 = 225 \), então \( x^2 = 112,5 \) e \( x = \sqrt{112,5} \approx 10,61 \) cm. Portanto, essa proposição está incorreta. Agora, resumindo: - Proposição I: Correta - Proposição II: Correta - Proposição III: Incorreta A alternativa correta que contém todas as proposições verdadeiras é: a) Apenas as proposições I e II estão corretas.