Para resolver essa questão, vamos usar as fórmulas para calcular o número de diagonais de um polígono. O número de diagonais \(D\) de um polígono com \(n\) lados é dado por: \[ D = \frac{n(n-3)}{2} \] Vamos chamar o número de lados do primeiro polígono de \(n\) e do segundo polígono de \(m\). Segundo a questão, temos: 1. A diferença entre o número de diagonais é 85: \[ D_1 - D_2 = 85 \] Ou seja: \[ \frac{n(n-3)}{2} - \frac{m(m-3)}{2} = 85 \] 2. O número de lados de um é o triplo do número de lados do outro: \[ n = 3m \] Agora, substituímos \(n\) na primeira equação: \[ \frac{3m(3m-3)}{2} - \frac{m(m-3)}{2} = 85 \] Simplificando: \[ \frac{3m(3m-3) - m(m-3)}{2} = 85 \] Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração: \[ 3m(3m-3) - m(m-3) = 170 \] Expandindo: \[ 9m^2 - 9m - m^2 + 3m = 170 \] Juntando os termos semelhantes: \[ 8m^2 - 6m - 170 = 0 \] Agora, podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Onde \(a = 8\), \(b = -6\) e \(c = -170\): \[ m = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-170)}}{2 \cdot 8} \] \[ m = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 5440}}{16} \] \[ m = \frac{6 \pm \sqrt{5476}}{16} \] \[ m = \frac{6 \pm 74}{16} \] Calculando as duas possibilidades: 1. \(m = \frac{80}{16} = 5\) 2. \(m = \frac{-68}{16}\) (não é válido, pois não pode ter lados negativos) Portanto, \(m = 5\). Agora, substituímos \(m\) para encontrar \(n\): \[ n = 3m = 3 \cdot 5 = 15 \] Assim, temos: - O primeiro polígono tem 15 lados. - O segundo polígono tem 5 lados. Portanto, os polígonos são um pentágono (5 lados) e um decágono (15 lados).