Para resolver a integral \( I = \int x \, dx \, 6 \sqrt{x^2 + 2} \), vamos aplicar o método da substituição. 1. Escolha da substituição: Vamos usar a substituição \( u = x^2 + 2 \). Assim, temos que \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2x} \). 2. Substituindo na integral: A integral se torna: \[ I = \int x \cdot 6 \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2x} = 3 \int \sqrt{u} \, du \] 3. Integrando: A integral de \( \sqrt{u} \) é: \[ \int \sqrt{u} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} + C \] Portanto, temos: \[ I = 3 \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = 2u^{3/2} + C \] 4. Voltando à variável original: Substituindo \( u \) de volta: \[ I = 2(x^2 + 2)^{3/2} + C \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( \frac{2}{5} 4 \sqrt{(x^2 + 2)^3} + C \) B) \( \frac{1}{5} 3 \sqrt{(x^2 + 2)^2} + C \) C) \( \frac{3}{5} 6 \sqrt{(x^2 + 2)^5} + C \) D) \( \frac{2}{5} 5 \sqrt{(x^2 + 2)^4} + C \) E) \( \frac{3}{5} 5 \sqrt{(x^2 + 2)^3} + C \) Nenhuma das alternativas parece corresponder exatamente ao resultado que encontramos. No entanto, a forma correta da integral é \( 2(x^2 + 2)^{3/2} + C \). Se precisar de mais ajuda, você pode criar uma nova pergunta!