Considere A = lim x→1 (x²−1)/(x²−x), B = lim x→0 (sen(x)−x)/(tg(x)−x) e C = lim x→∞ (√(x²−25)/(x³+2)). Então,
podemos afirmar que:
a) 4A + 3B = 2C
b) 24B + 4C = −3A
c) A + 4B = C
d) A + C = −B
e) 2A + 3C = B

Question

Considere A = lim x→1 (x²−1)/(x²−x), B = lim x→0 (sen(x)−x)/(tg(x)−x) e C = lim x→∞ (√(x²−25)/(x³+2)). Então,
podemos afirmar que:
a) 4A + 3B = 2C
...

Ed · Answer

Vamos calcular os limites A, B e C um por um.

1. **Cálculo de A:**
   $$
   A = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 - x} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x} = \frac{1+1}{1} = 2
   $$

2. **Cálculo de B:**
   $$
   B = \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x) - x}{\tg(x) - x}
   $$
   Usando a série de Taylor ou L'Hôpital, temos:
   $$
   \sen(x) \approx x - \frac{x^3}{6} \quad \text{e} \quad \tg(x) \approx x + \frac{x^3}{3}
   $$
   Portanto:
   $$
   \sen(x) - x \approx -\frac{x^3}{6} \quad \text{e} \quad \tg(x) - x \approx \frac{x^3}{3}
   $$
   Assim:
   $$
   B = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6}}{\frac{x^3}{3}} = \lim_{x \to 0} -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}
   $$

3. **Cálculo de C:**
   $$
   C = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 - 25}}{x^3 + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x\sqrt{1 - \frac{25}{x^2}}}{x^3(1 + \frac{2}{x^3})} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{25}{x^2}}}{x^2(1 + \frac{2}{x^3})} = 0
   $$

Agora temos:
- $ A = 2 $
- $ B = -\frac{1}{2} $
- $ C = 0 $

Agora, vamos analisar as alternativas:

a) $ 4A + 3B = 2C $
   $$
   4(2) + 3\left(-\frac{1}{2}\right) = 8 - \frac{3}{2} = \frac{16}{2} - \frac{3}{2} = \frac{13}{2} \quad \text{e} \quad 2(0) = 0 \quad \text{(falso)}
   $$

b) $ 24B + 4C = -3A $
   $$
   24\left(-\frac{1}{2}\right) + 4(0) = -12 \quad \text{e} \quad -3(2) = -6 \quad \text{(falso)}
   $$

c) $ A + 4B = C $
   $$
   2 + 4\left(-\frac{1}{2}\right) = 2 - 2 = 0 \quad \text{e} \quad C = 0 \quad \text{(verdadeiro)}
   $$

d) $ A + C = -B $
   $$
   2 + 0 = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \quad \text{(falso)}
   $$

e) $ 2A + 3C = B $
   $$
   2(2) + 3(0) = 4 \quad \text{e} \quad B = -\frac{1}{2} \quad \text{(falso)}
   $$

Portanto, a alternativa correta é: **c) A + 4B = C**.

Odontologia

Anotações Prova ASON 2011

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Anotações Prova ASON 2011

Sobre a função f(x) = e^(x²), pode-se afirmar que:
a) f ′(x) + 2xf(x) = 0
b) f ′(x) − xf(x) = 0
c) f ′(x) + f(x) = 0
d) f ′(x) − f(x) = 0
e) f ′(x) − 2xf(x) = 0

A equação da curva que passa pelo ponto P(0, 4) e que satisfaz a equação dy/dx = e^x y é:
a) y² = 2e^−x + 7
b) y² = 2(e^x + 7)
c) x² = e^y − 7
d) x² = e^−y + 7
e) y² = 4e^x + 7

Determine o volume do sólido gerado pela rotação ao redor do eixo x, da parte da região delimitada por y = √x para 0 ≤ x ≤ 2.
a) V = π;
b) V = π/3;
c) V = 2π;
d) V = π/2;
e) V = 4π/3.

Quando calculamos ∫∫D (16− x²) dy dx, onde D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2x}, encontramos o seguinte resultado:
a) 128.
b) 125.
c) 123.
d) 120.
e) 110.

No cálculo do limite lim x→0 1− cos(x) x2 , encontramos o valor:
a) −1/2.
b) −1.
c) 0.
d) 1/2.
e) 1.

Sobre o valor da integral ∫ 2 0 xe−x2 dx, pode-se afirmar que:
a) −1/2 e−4.
b) −1/2[e−4 − 1].
c) −1/2 e−4 − 1.
d) 1/2[e−4 − 1].
e) 1/2 e−4.

Dadas as funções f(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 e g(x) = 0, pode-se afirmar que a área limita pelos seus gráficos é
a) 0.
b) 0, 5.
c) 1.
d) 1, 5.
e) 2.

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Sobre a função f(x) = e^(x²), pode-se afirmar que:a) f ′(x) + 2xf(x) = 0b) f ′(x) − xf(x) = 0c) f ′(x) + f(x) = 0d) f ′(x) − f(x) = 0e) f ′(x) − 2xf(x) = 0

A equação da curva que passa pelo ponto P(0, 4) e que satisfaz a equação dy/dx = e^x y é:a) y² = 2e^−x + 7b) y² = 2(e^x + 7)c) x² = e^y − 7d) x² = e^−y + 7e) y² = 4e^x + 7

Determine o volume do sólido gerado pela rotação ao redor do eixo x, da parte da região delimitada por y = √x para 0 ≤ x ≤ 2.a) V = π;b) V = π/3;c) V = 2π;d) V = π/2;e) V = 4π/3.

Quando calculamos ∫∫D (16− x²) dy dx, onde D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2x}, encontramos o seguinte resultado:a) 128.b) 125.c) 123.d) 120.e) 110.

No cálculo do limite lim x→0 1− cos(x) x2 , encontramos o valor:a) −1/2.b) −1.c) 0.d) 1/2.e) 1.

Sobre o valor da integral ∫ 2 0 xe−x2 dx, pode-se afirmar que:a) −1/2 e−4.b) −1/2[e−4 − 1].c) −1/2 e−4 − 1.d) 1/2[e−4 − 1].e) 1/2 e−4.

Dadas as funções f(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 e g(x) = 0, pode-se afirmar que a área limita pelos seus gráficos éa) 0.b) 0, 5.c) 1.d) 1, 5.e) 2.

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a) f ′(x) + 2xf(x) = 0
b) f ′(x) − xf(x) = 0
c) f ′(x) + f(x) = 0
d) f ′(x) − f(x) = 0
e) f ′(x) − 2xf(x) = 0

A equação da curva que passa pelo ponto P(0, 4) e que satisfaz a equação dy/dx = e^x y é:
a) y² = 2e^−x + 7
b) y² = 2(e^x + 7)
c) x² = e^y − 7
d) x² = e^−y + 7
e) y² = 4e^x + 7

Determine o volume do sólido gerado pela rotação ao redor do eixo x, da parte da região delimitada por y = √x para 0 ≤ x ≤ 2.
a) V = π;
b) V = π/3;
c) V = 2π;
d) V = π/2;
e) V = 4π/3.

Quando calculamos ∫∫D (16− x²) dy dx, onde D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2x}, encontramos o seguinte resultado:
a) 128.
b) 125.
c) 123.
d) 120.
e) 110.

No cálculo do limite lim x→0 1− cos(x) x2 , encontramos o valor:
a) −1/2.
b) −1.
c) 0.
d) 1/2.
e) 1.

Sobre o valor da integral ∫ 2 0 xe−x2 dx, pode-se afirmar que:
a) −1/2 e−4.
b) −1/2[e−4 − 1].
c) −1/2 e−4 − 1.
d) 1/2[e−4 − 1].
e) 1/2 e−4.

Dadas as funções f(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 e g(x) = 0, pode-se afirmar que a área limita pelos seus gráficos é
a) 0.
b) 0, 5.
c) 1.
d) 1, 5.
e) 2.