Dadas as funções f(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 e g(x) = 0, pode-se afirmar que a área limita pelos seus gráficos é a) 0. b) 0, 5. c) 1. d) 1, 5. e) 2.

Para determinar a área limitada pelos gráficos das funções \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) e \( g(x) = 0 \), precisamos primeiro encontrar os pontos de interseção entre \( f(x) \) e \( g(x) \). Isso ocorre quando \( f(x) = 0 \). Resolvendo a equação \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \), podemos fatorar ou usar o método de tentativa e erro para encontrar as raízes. As raízes dessa função são \( x = 1, 2, 3 \). Agora, a área entre a curva \( f(x) \) e a linha \( g(x) = 0 \) entre os pontos \( x = 1 \) e \( x = 3 \) pode ser calculada pela integral definida: \[ \text{Área} = \int_{1}^{3} f(x) \, dx \] Calculando a integral: \[ \int (x^3 - 6x^2 + 11x - 6) \, dx = \frac{x^4}{4} - 2x^3 + \frac{11x^2}{2} - 6x \] Agora, avaliamos de 1 a 3: \[ \left[ \frac{3^4}{4} - 2(3^3) + \frac{11(3^2)}{2} - 6(3) \right] - \left[ \frac{1^4}{4} - 2(1^3) + \frac{11(1^2)}{2} - 6(1) \right] \] Calculando: Para \( x = 3 \): \[ \frac{81}{4} - 54 + \frac{99}{2} - 18 = \frac{81}{4} - \frac{216}{4} + \frac{198}{4} - \frac{72}{4} = \frac{81 - 216 + 198 - 72}{4} = \frac{-9}{4} \] Para \( x = 1 \): \[ \frac{1}{4} - 2 + \frac{11}{2} - 6 = \frac{1}{4} - \frac{8}{4} + \frac{22}{4} - \frac{24}{4} = \frac{1 - 8 + 22 - 24}{4} = \frac{-9}{4} \] Agora, subtraindo os resultados: \[ \text{Área} = \left( \frac{-9}{4} \right) - \left( \frac{-9}{4} \right) = 0 \] Portanto, a área limitada pelos gráficos é: a) 0.