Para resolver essa questão, precisamos analisar o conjunto \( W = \{(1,0,1), (1,1,1), (0,1,0)\} \) e verificar se ele gera \( \mathbb{R}^3 \) e se é uma base. 1. Verificar se \( W \) gera \( \mathbb{R}^3 \): Para que um conjunto de vetores gere \( \mathbb{R}^3 \), ele deve conter 3 vetores linearmente independentes. Vamos verificar a independência linear dos vetores em \( W \). Colocando os vetores em uma matriz e fazendo a redução: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Após a redução, podemos ver que os vetores são linearmente independentes, pois não há combinação linear não trivial que os iguale a zero. 2. Verificar se \( W \) é uma base de \( \mathbb{R}^3 \): Como temos 3 vetores linearmente independentes em \( \mathbb{R}^3 \), \( W \) é uma base de \( \mathbb{R}^3 \). 3. Analisar as alternativas: - A) \( W \) gera \( E \) - Correto, pois \( W \) é uma base de \( \mathbb{R}^3 \). - B) \( W \cup \{(2, 2, 2)\} \) é base de \( E \) - Incorreto, pois adicionar um vetor que é uma combinação linear dos vetores de \( W \) não mantém a independência. - C) \( = 2 \) - Não faz sentido no contexto. - D) \( W \) é uma base de \( E \) - Correto, já que \( W \) é uma base de \( \mathbb{R}^3 \). - E) \( W \) é L.I. - Correto, pois os vetores são linearmente independentes. Portanto, as alternativas A, D e E estão corretas, mas a pergunta pede a alternativa correta. A resposta mais direta e que se encaixa no contexto é: A) \( W \) gera \( E \).