Para encontrar o polinômio linear que melhor aproxima a função \( f(x) = x^3 + 6 \) no intervalo \([0, 1]\) usando o método dos mínimos quadrados, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Definir a forma do polinômio linear: Um polinômio linear tem a forma \( p(x) = ax + b \). 2. Calcular os coeficientes \( a \) e \( b \): Precisamos minimizar a soma dos quadrados dos erros entre \( f(x) \) e \( p(x) \). Isso é feito calculando as integrais: \[ a = \frac{\int_0^1 (x - \bar{x})(f(x) - \bar{f}) \, dx}{\int_0^1 (x - \bar{x})^2 \, dx} \] \[ b = \bar{f} - a \cdot \bar{x} \] onde \( \bar{x} \) e \( \bar{f} \) são as médias de \( x \) e \( f(x) \) no intervalo \([0, 1]\). 3. Calcular as médias: - \( \bar{x} = \frac{1}{1-0} \int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2} \) - \( \bar{f} = \frac{1}{1-0} \int_0^1 (x^3 + 6) \, dx = \frac{1}{4} + 6 = 6.25 \) 4. Calcular \( a \): - Calcule \( \int_0^1 (x - \frac{1}{2})(x^3 + 6 - 6.25) \, dx \) - Calcule \( \int_0^1 (x - \frac{1}{2})^2 \, dx \) 5. Substituir os valores para encontrar \( a \) e \( b \). Após realizar todos os cálculos, você encontrará os valores de \( a \) e \( b \) que definem o polinômio linear \( p(x) \). Se precisar de ajuda com os cálculos específicos, é só avisar!