Para encontrar o módulo do vetor velocidade da partícula \( m_2 \) antes da colisão, podemos usar a conservação do momento linear. 1. Momento linear antes da colisão: O momento linear total antes da colisão é a soma dos momentos lineares das duas partículas: \[ \vec{p}_{inicial} = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 \] onde \( m_1 = M \), \( \vec{v}_1 = v_0\frac{\sqrt{2}}{2}\hat{u}_x - \frac{v_0}{2}\hat{u}_z \) e \( m_2 = 2M \). 2. Momento linear após a colisão: Após a colisão, as partículas se movem juntas com a velocidade \( \vec{v}_f = \frac{v_0\sqrt{2}}{3}\hat{u}_y - \frac{v_0}{6}\hat{u}_z \). O momento linear total após a colisão é: \[ \vec{p}_{final} = (m_1 + m_2) \vec{v}_f = (M + 2M) \vec{v}_f = 3M \vec{v}_f \] 3. Igualando os momentos: Igualamos os momentos antes e depois da colisão: \[ M \vec{v}_1 + 2M \vec{v}_2 = 3M \vec{v}_f \] Dividindo tudo por \( M \): \[ \vec{v}_1 + 2 \vec{v}_2 = 3 \vec{v}_f \] 4. Substituindo \( \vec{v}_1 \) e \( \vec{v}_f \): \[ v_0\frac{\sqrt{2}}{2}\hat{u}_x - \frac{v_0}{2}\hat{u}_z + 2 \vec{v}_2 = 3\left(\frac{v_0\sqrt{2}}{3}\hat{u}_y - \frac{v_0}{6}\hat{u}_z\right) \] 5. Resolvendo para \( \vec{v}_2 \): Vamos isolar \( 2 \vec{v}_2 \): \[ 2 \vec{v}_2 = 3\left(\frac{v_0\sqrt{2}}{3}\hat{u}_y - \frac{v_0}{6}\hat{u}_z\right) - v_0\frac{\sqrt{2}}{2}\hat{u}_x + \frac{v_0}{2}\hat{u}_z \] Simplificando: \[ 2 \vec{v}_2 = v_0\sqrt{2}\hat{u}_y - \frac{v_0}{2}\hat{u}_z - v_0\frac{\sqrt{2}}{2}\hat{u}_x + \frac{v_0}{2}\hat{u}_z \] \[ 2 \vec{v}_2 = -v_0\frac{\sqrt{2}}{2}\hat{u}_x + v_0\sqrt{2}\hat{u}_y - \frac{v_0}{2}\hat{u}_z + \frac{v_0}{2}\hat{u}_z \] \[ 2 \vec{v}_2 = -v_0\frac{\sqrt{2}}{2}\hat{u}_x + v_0\sqrt{2}\hat{u}_y \] 6. Dividindo por 2: \[ \vec{v}_2 = -\frac{v_0\sqrt{2}}{4}\hat{u}_x + \frac{v_0\sqrt{2}}{2}\hat{u}_y \] 7. Calculando o módulo de \( \vec{v}_2 \): O módulo é dado por: \[ |\vec{v}_2| = \sqrt{\left(-\frac{v_0\sqrt{2}}{4}\right)^2 + \left(\frac{v_0\sqrt{2}}{2}\right)^2} \] \[ |\vec{v}_2| = \sqrt{\frac{v_0^2 \cdot 2}{16} + \frac{v_0^2 \cdot 2}{4}} = \sqrt{\frac{v_0^2 \cdot 2}{16} + \frac{v_0^2 \cdot 8}{16}} = \sqrt{\frac{10v_0^2}{16}} = \frac{v_0\sqrt{10}}{4} \] Portanto, o módulo do vetor velocidade da partícula \( m_2 \) antes da colisão é \( \frac{v_0\sqrt{10}}{4} \).