Para determinar os vetores que formam a base do operador da transformação linear \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) dada por \( T(x, y) = (-x + 4y, x + 2y) \), precisamos encontrar a imagem dos vetores da base canônica \( (1, 0) \) e \( (0, 1) \). 1. Calculando \( T(1, 0) \): \[ T(1, 0) = (-1 + 4 \cdot 0, 1 + 2 \cdot 0) = (-1, 1) \] 2. Calculando \( T(0, 1) \): \[ T(0, 1) = (0 + 4 \cdot 1, 0 + 2 \cdot 1) = (4, 2) \] Assim, a imagem dos vetores da base canônica é dada pelos vetores \( (-1, 1) \) e \( (4, 2) \). Agora, vamos analisar as opções: - Opção A: {(-1, 1), (0, 2)} - Inclui um vetor que não é a imagem. - Opção B: {(3, 1), (1, 2)} - Não corresponde aos vetores encontrados. - Opção C: {(-1, 1), (4, 2)} - Esta opção contém exatamente os vetores que encontramos. - Opção D: {(3, 1), (4, 2)} - Inclui um vetor que não é a imagem. - Opção E: {(2, 1), (4, 2)} - Inclui um vetor que não é a imagem. Portanto, a opção correta é a Opção C: {(-1, 1), (4, 2)}.