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Lista 1) Qual a probabilidade de, num baralho com 52 cartas, ao se retirarem 4, cartas, ao acaso, sem reposição, se obter uma quadra? OBS. Uma Quadra é o conjunto de quatro cartas de mesmo número uma de cada naipe. 2) Duas bolas vão ser retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas a) Sejam verdes? b) Sejam da mesma cor? 3) Lançam-se 3 moedas, verifique se são independentes os eventos: A: Saída de cara na 1ª moeda; B: Saída de coroa na 2ª e 3ª moedas. 4) Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe também ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca? 5) Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Determinar a probabilidade dela: a) ser vermelha; b) ser branca; c) ser azul; d) não ser vermelha; e) ser vermelha ou branca; f) de que 3 bolas sejam retiradas na ordem vermelha, branca e azul, quando cada bola for recolocada; g) o mesmo, porém quando as bolas não forem recolocadas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela r (ou letra), retira-se, 6) Um dado honesto é lançado duas vezes. a) Determine a probabilidade de ocorrer um 4, 5 ou 6 no primeiro lance e um 1, 2 3 ou 4 no segundo lance. b) Agora, determine a possibilidade de aparecer um 4, pelo menos uma vez, em dois lances. 7) Uma bolsa contém 4 bolas brancas e 2 pretas; outra contém 3 brancas e pretas. Se for retirada uma bola de cada bolsa, determine a probabilidade de: a) ambas serem brancas: b) ambas serem pretas: c) uma ser branca e a outra preta. 8) Determinar a probabilidade de haver meninos e meninas em famílias com 3 crianças, admitindo-se as mesmas possibilidades para ambos. 9) Dado o seguinte conjunto de dados: Bacia Hidrográfica A Cheia / Seca C Afluentes 5 a) Qual a probabilidade de se selecionar uma condições de cheia ou tenha 8 afluentes? b) Qual a probabilidade de uma vez selecionada uma bacia que se apresente em condições de cheia, ela tenha 8 afluentes? 10) Seja um lote com 20 peças, sendo 5 defeituosas. peças do lote (uma amostra aleatória de quatro peças). Qual é a probabilidade de se obter, exatamente, duas defeituosas na amostra? 11) Uma rede de computadores é composta por um servidor e cinco clientes (A, B, C, D e E). Registros anteriores indicam que do total de pedidos de consulta, – D.O.U. de 17.02.1999 B C D E F G H I C S C S C S S S 6 2 7 6 8 8 9 11 bacia que se apresente em Escolha, aleatoriamente, 4 tros 5 J C 4 cerca de 10% vem do cliente A, 15% do cliente B, 15% de C, 40% de D e 20% de E. Se o pedido não for feito de forma adequada, a consulta apresentará erro. Usualmente, ocorrem os seguintes percentu cliente A, 2% do cliente B, 0.5% de C, 2% de D e 8% de E. a. Qual a probabilidade do sistema apresentar erro? b. Qual e a probabilidade de uma consulta ter originado do cliente E, sabendo que esta apresentou erro? 12) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas; duas peças são retiradas aleatoriamente. Calcule: A probabilidade de ambas serem defeituosas A probabilidade de ambas não serem defeituosas A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa. 13) Uma caixa tem 3 moe terceira viciada, de modo que a probabilidade de ocorrer cara nesta moeda é 1/5. Uma moeda é selecionada ao acaso da caixa. Saiu cara. Qual a probabilidade de que a terceira moeda tenha sido selecionada? 14) A caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9. A caixa B tem 5 cartas numeradas de 1 a 5. Uma caixa é escolhida ao acaso e uma carta é retirada. Se o número é par, qual a probabilidade de que a carta sorteada tenha vindo de A? 15) Dois processadores tipos A e B são colocados em teste por 50 mil horas. A probabilidade de que um erro de cálculo aconteça em um processador do tipo A é de 1/30, no tipo B, de 1/80 e em ambos, 1/1000. Qual a probabilidade de que : a) Pelo menos um dos processad b) Nenhum processador tenha apresentado erro? c) Apenas o processador A tenha apresentado erro? 16) De um total de 500 estudantes da área de exatas, 200 Diferencial e 180 estudam Álgebra Linear. Esses dados incluem 130 estudantes que estudam ambas as disciplinas. Qual é a probabilidade de que um estudante – D.O.U. de 17.02.1999 percentuais de pedidos inadequados: 1% do moedas: uma não viciada, outra com duas caras e uma processadores tenha apresentado erro? estudam Cálculo ais sabendo-se das: escolhido aleatoriamente esteja estudando Cálculo Diferencial ou Álgebra Linear? (A)0,26 (B)0,50 (C)0,62 (D)0,76 17) Suponha que um número seja sorteado de 1 a 10, inteiros positivos. Seja X o número de divisores do número sorteado. Calcular o divisores do número sorteado. 18) Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas.Retire três bolas, sem reposição, e defina a variável aleatória X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a função de distribuição de probabilidade de X. 19) Considere novamente a urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Seja X a variável aleatória igual ao número de bolas pretas, depois de três extrações sem reposição. Encontre a distribuição de 3X e X 20) Num Jogo de dados, Claudio face 1 em um dos dados apenas, dois dados apenas, Cláudio ganha R$ 50,00 e se sair face 1 nos três dados , Claudio ganha R$80,00. Calcule o – D.O.U. de 17.02.1999 número médio de eposição. X2. paga R$20,00 a Lúcio e lança 3 dados. Se sair Claudio ganha R$ 20,00. Se sair face 1 em lucro médio de Claudio em uma jogada. Gabarito: 1) Resp. P(A) = 0,000048 = 0,0048% 2) Resp. a) 16,67% 3) – D.O.U. de 17.02.1999 b)27,78% 4) P(B) = P(I B) + P(II 19/30= 63,33% 5) Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Determinar a probabilidade dela: a) ser vermelha: P(V) = 6/15 = 2/5 b) ser branca: P(B) = 4/15 c) ser azul: P(A) = 5/15 = 1/3 d) não ser vermelha: P=(ÑV) = 9/15 = 3/5 e) ser vermelha ou branca: f) de que 3 bolas sejam retiradas na ordem vermelha, branca e azul, quando cada bola for recolocada: 8/225 (ev. indep.) g) o mesmo, porém quando as bolas não forem recolocadas: P(V_B_A) = P(V).P(B|V).P(A|BV) = (6/15).(4/14).(5/13)= 4/91 (ev. dep.) 6) Um dado honesto é lançado duas vezes. a) Determine a probabilidade de ocorrer um 4, 5 ou 6 no 1, 2 3 ou 4 no segundo lance. P(1,2,3,4|4,5,6) = P(1,2,3,4).P(4,5,6) = (4/6).(3/6)=(2/3).(1/2)=(2/6)= (1/3) = 33,33% b) Agora, determine a possibilidade de aparecer um 4, pelo menos uma vez, em dois lances. A = Sair 4 no 1º lance; A<B não são mutuamente exclusivos => ou A, ou B, ou ambos. P(AUB) = P(A) + P(B) Porém, A + B são independentes = > então P(A P(AUB) = P(A) + P(B) – D.O.U. de 17.02.1999 B) = (½).(3/5) + (1/2).(4/6) = P(V ou B) = 10/15 P(V_B_A) = P(V).P(B).P(A) = (2/5).(4/15). primeiro lance e um B = Sair 4 no 2º lance – P(A_B) _B) = P(A).P(B) – P(A).P(B) = (1/6) + (1/6) – (1/36) = (11/36) 15).(1/3)= 7) a) ambas serem branc P(B1,B2) = P(B1_B2) = P(B1).P(B2) ´= (4/6).(3/8) = (1/4) (indep.) b) ambas serem pretas: P(P1,P2) = P(P1).P(P2) = (2/6).(5/8) = (5/24) (indep.) c) uma ser branca e a outra preta. P(B1,P2) + P(P1,B2) = P(B1).P(P2) + P(P1).P(B2) = (13/24) 8) Seja O = menino, A = menina As probabilidades seriam: P(OOO) = P(O).P(O).P(O) = 1/8 P(AAA) = P(A).P(A).P(A) = 1/8 P(2O 1A) = P(OOA) + P(OAO) + P(AOO) = 3/8 P(1O 2A) = P(OAA) + P(AAO) + P(AOA) = 3/8 P(Probabilidade de Haver meninas e 9) a) Qual a probabilidade de se selecionar uma bacia que se apresente em condições de cheia ou tenha 8 afluentes? P(AUB) = P (A) + P(B) P(AUB) = (5/10) + (2/10) b) Qual a probabilidade de uma vez selecionada uma bacia que se apresente em condições de cheia, ela tenha 8 afluentes? P(A_B) = P(A).P(B|A) = (5/10).(1/5) = (1/10) 10) 11) a) Qual a probabilidade do sistema apresentar erro? Seja R o evento ocorrer erro – D.O.U. de 17.02.1999 brancas: meninas) = 6/8 = ¾ = 0,75 = 75% – P(A_B) = P(A) + P(B) – P(A).P(B) – (10/100) = (6/10) al b) Qual e a probabilidade de uma consulta ter originado do cliente E, sabendo 12) 13) Resolução: Considere os seguintes eventos A: Primeira Moeda, B: Segunda Moeda C: Terceira Moeda – D.O.U. de 17.02.1999 sabendo-se que esta apresentou erro? FACULDADE BRASILEIRA Credenciada pela Portaria/MEC No 259 de 11.02.1999 14) Resolução: P(A) = ½ -_ P(P/A) = 4/9 P(B) = ½ -_ P(P/B) = 2/5 P(P) = P(A _ P) + P(B _ P) = P(A).P(P/A) + P(B).P(P/B) P(P) = [(½).(4/9)] +[(1/2).(2/5)] = 19/45 P(A/P) = P(A _ P)/ P(P) P(A/P) = (2/9)/(19/45) = 10/19 = 0,5263 = 52,63% 15) a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro? P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A 0.04483 b) Nenhum processador tenha apresentado erro? c) Apenas o processador A tenha apresentado erro? 16) Solução: Vamos representar Álgebra linear pelo conjunto A no diagrama de Venn quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de – D.O.U. de 17.02.1999 _ B) = 0.0333333333333333 + 0.0125 Cálculo diferencial pelo pelo conjunto C e Venn-Euler a seguir, colocando a − 0.001 = elementos da interseção. Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos es intersecção. Observe que: 70 + 130 + 50 + 250 = 500. favoráveis é o número de elementos do conjunto C união com A, ou seja, n(CÈA) = 70 + 130 + 50 = 250. 500 estudantes da área de = 1/2 = 0,5 = 50%. Portanto, a opção correta é (B). 17) 18) Resolução: Repare possibilidades em 8 de ser uma bola preta; mas, a segunda terá 5 em 7 se a primeira for vermelha, ou 4 em 7 se a primeira foi preta, e assim por diante. – D.O.U. de 17.02.1999 esquecer de descontar os da Assim, o número de resultados O número de resultados possíveis é o tota exatas. Logo, a probabilidade é P(C ou que não há reposição: a primeira extração tem 5 total de A) = 250/500 FACULDADE BRASILEIRA Credenciada pela Portaria/MEC No 259 de 11.02.1999 A partir do diagrama de arvore, podemos construir uma PPP, PPV, etc. Finalmente, observe que são equivalentes os eventos: Somando as probabilidades dos eventos, encontradas função de distribuição de X: – D.O.U. de 17.02.1999 tabela com os eventos anteriormente, obtemos a
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