Encontre o valor de m de forma que a função y = emx seja a solução da equação diferencial. y′′ − 5y′ + 6y = 0.

Para encontrar o valor de \( m \) de forma que a função \( y = e^{mx} \) seja uma solução da equação diferencial \( y'' - 5y' + 6y = 0 \), vamos seguir os passos: 1. Calcular as derivadas: - A primeira derivada: \( y' = me^{mx} \) - A segunda derivada: \( y'' = m^2 e^{mx} \) 2. Substituir na equação diferencial: Substituindo \( y \), \( y' \) e \( y'' \) na equação \( y'' - 5y' + 6y = 0 \): \[ m^2 e^{mx} - 5(me^{mx}) + 6(e^{mx}) = 0 \] 3. Fatorar \( e^{mx} \) (que nunca é zero): \[ e^{mx}(m^2 - 5m + 6) = 0 \] Portanto, precisamos resolver a equação: \[ m^2 - 5m + 6 = 0 \] 4. Resolver a equação quadrática: Podemos fatorar: \[ (m - 2)(m - 3) = 0 \] Assim, temos as soluções: \[ m = 2 \quad \text{ou} \quad m = 3 \] Portanto, os valores de \( m \) que fazem com que \( y = e^{mx} \) seja uma solução da equação diferencial são \( m = 2 \) e \( m = 3 \).