Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis. g) dy/dx = x²y − y + x² − 1

Para resolver a equação diferencial separável \( \frac{dy}{dx} = x^2y - y + x^2 - 1 \), vamos primeiro reorganizá-la: 1. Fatorar a equação: \[ \frac{dy}{dx} = y(x^2 - 1) + (x^2 - 1) \] Podemos reescrever isso como: \[ \frac{dy}{dx} = (x^2 - 1)(y + 1) \] 2. Separar as variáveis: \[ \frac{dy}{y + 1} = (x^2 - 1)dx \] 3. Integrar ambos os lados: \[ \int \frac{dy}{y + 1} = \int (x^2 - 1)dx \] A integral do lado esquerdo é: \[ \ln |y + 1| + C_1 \] A integral do lado direito é: \[ \frac{x^3}{3} - x + C_2 \] 4. Igualar as integrais: \[ \ln |y + 1| = \frac{x^3}{3} - x + C \] onde \( C = C_2 - C_1 \). 5. Resolver para \( y \): \[ |y + 1| = e^{\frac{x^3}{3} - x + C} \] Portanto: \[ y + 1 = \pm e^{C} e^{\frac{x^3}{3} - x} \] Definindo \( K = \pm e^{C} \), temos: \[ y = K e^{\frac{x^3}{3} - x} - 1 \] Essa é a solução geral da equação diferencial dada.