( Mack - SP ) O número de matrizes A = ( aij)2x2 onde aij = x para i = j e aij = y para i j, tal que A = A-1 é: a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

Para resolver a questão, precisamos entender a condição \( A = A^{-1} \) para a matriz \( A \) que é uma matriz \( 2 \times 2 \) com a forma: \[ A = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix} \] A condição \( A = A^{-1} \) implica que \( A \cdot A = I \), onde \( I \) é a matriz identidade. Vamos calcular \( A \cdot A \): \[ A \cdot A = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2 + y^2 & xy + xy \\ xy + xy & y^2 + x^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2 + y^2 & 2xy \\ 2xy & x^2 + y^2 \end{pmatrix} \] Para que \( A \cdot A = I \), temos que: \[ \begin{pmatrix} x^2 + y^2 & 2xy \\ 2xy & x^2 + y^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] Isso nos dá as seguintes equações: 1. \( x^2 + y^2 = 1 \) 2. \( 2xy = 0 \) A segunda equação \( 2xy = 0 \) implica que \( xy = 0 \). Portanto, ou \( x = 0 \) ou \( y = 0 \). Agora, vamos analisar os casos: 1. Se \( x = 0 \), então \( y^2 = 1 \) e \( y = 1 \) ou \( y = -1 \). Isso nos dá as matrizes: - \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) - \( A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \) 2. Se \( y = 0 \), então \( x^2 = 1 \) e \( x = 1 \) ou \( x = -1 \). Isso nos dá as matrizes: - \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) - \( A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \) Portanto, temos as seguintes matrizes que satisfazem \( A = A^{-1} \): 1. \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) 2. \( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \) 3. \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) 4. \( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \) Assim, existem 4 matrizes que satisfazem a condição \( A = A^{-1} \). Portanto, a resposta correta é: e) 4.