calcule o angulo entre as retas: r1: x=2+t y=1-t z=3+2t r2: x-1/2=y+2/1=z/3

Para calcular o ângulo entre as retas \( r_1 \) e \( r_2 \), precisamos primeiro encontrar os vetores diretores de cada reta. 1. Reta \( r_1 \): - A equação paramétrica é dada por: \[ r_1: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases} \] - O vetor diretor \( \vec{v_1} \) é obtido a partir dos coeficientes de \( t \): \[ \vec{v_1} = (1, -1, 2) \] 2. Reta \( r_2 \): - A equação simétrica é dada por: \[ r_2: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{3} \] - O vetor diretor \( \vec{v_2} \) é: \[ \vec{v_2} = (2, 1, 3) \] 3. Cálculo do ângulo: - O ângulo \( \theta \) entre os vetores \( \vec{v_1} \) e \( \vec{v_2} \) pode ser encontrado usando a fórmula do cosseno: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|} \] - Primeiro, calculamos o produto escalar \( \vec{v_1} \cdot \vec{v_2} \): \[ \vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 2 - 1 + 6 = 7 \] - Agora, calculamos as magnitudes: \[ |\vec{v_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\vec{v_2}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \] - Substituindo na fórmula do cosseno: \[ \cos(\theta) = \frac{7}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{84}} = \frac{7}{2\sqrt{21}} \] - Para encontrar o ângulo \( \theta \): \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{7}{2\sqrt{21}}\right) \] Assim, o ângulo entre as retas \( r_1 \) e \( r_2 \) é \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{7}{2\sqrt{21}}\right) \).