Vamos resolver a questão passo a passo. Primeiro, vamos encontrar os valores de \( ch(0) \) e \( sh(0) \). As definições são: - \( ch(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \) - \( sh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \) Agora, substituindo \( x = 0 \): 1. Para \( ch(0) \): \[ ch(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] 2. Para \( sh(0) \): \[ sh(0) = \frac{e^0 - e^{-0}}{2} = \frac{1 - 1}{2} = \frac{0}{2} = 0 \] Portanto, os valores são: - \( ch(0) = 1 \) - \( sh(0) = 0 \) Agora, para a segunda parte, precisamos provar que \( ch^2(x) - sh^2(x) = 1 \). Usando as definições: \[ ch^2(x) = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{(e^x + e^{-x})^2}{4} = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} \] \[ sh^2(x) = \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{(e^x - e^{-x})^2}{4} = \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} \] Agora, subtraindo \( sh^2(x) \) de \( ch^2(x) \): \[ ch^2(x) - sh^2(x) = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} \] \[ = \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{4} \] \[ = \frac{4}{4} = 1 \] Assim, provamos que \( ch^2(x) - sh^2(x) = 1 \). Resumindo: - \( ch(0) = 1 \) - \( sh(0) = 0 \) - \( ch^2(x) - sh^2(x) = 1 \) está provado.