7) Calcule o seguinte limite: lim x→0 (cos²(1/x))csc²(1/x).

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} (\cos^2(1/x)) \csc^2(1/x) \), vamos analisar as funções envolvidas. 1. Identificar as funções: - \( \csc^2(1/x) = \frac{1}{\sin^2(1/x)} \). - Portanto, o limite se torna \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos^2(1/x)}{\sin^2(1/x)} \). 2. Reescrever o limite: - O limite agora é \( \lim_{x \to 0} \cot^2(1/x) \). 3. Comportamento de \( \cot(1/x) \): - À medida que \( x \) se aproxima de 0, \( 1/x \) se aproxima de \( \infty \). A função \( \cot(t) \) oscila entre \( -\infty \) e \( \infty \) conforme \( t \) varia. 4. Limite não existe: - Como \( \cot(1/x) \) não tem um limite definido quando \( x \to 0 \) (oscila entre valores positivos e negativos), o mesmo se aplica a \( \cot^2(1/x) \). Portanto, o limite \( \lim_{x \to 0} (\cos^2(1/x)) \csc^2(1/x) \) não existe.