4) Encontrar a função polinomial de grau 2 tal que: f(0) = 5, f(−1) = 10 e f(1) = 6.

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Para encontrar a função polinomial de grau 2, podemos assumir a forma geral da função: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] Dado que temos três condições, podemos montar um sistema de equações: 1. \( f(0) = 5 \) implica que \( c = 5 \). 2. \( f(-1) = 10 \) implica que \( a(-1)^2 + b(-1) + 5 = 10 \) ou seja, \( a - b + 5 = 10 \) → \( a - b = 5 \) (equação 1). 3. \( f(1) = 6 \) implica que \( a(1)^2 + b(1) + 5 = 6 \) ou seja, \( a + b + 5 = 6 \) → \( a + b = 1 \) (equação 2). Agora, temos o seguinte sistema de equações: 1. \( a - b = 5 \) 2. \( a + b = 1 \) Podemos resolver esse sistema. Somando as duas equações: \[ (a - b) + (a + b) = 5 + 1 \] \[ 2a = 6 \] \[ a = 3 \] Substituindo \( a \) na equação 2: \[ 3 + b = 1 \] \[ b = 1 - 3 \] \[ b = -2 \] Agora temos \( a = 3 \), \( b = -2 \) e \( c = 5 \). Portanto, a função polinomial é: \[ f(x) = 3x^2 - 2x + 5 \]

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2) Achar a expressão anaĺıtica das funções compostas f ◦ g e g ◦ f se:
f(x) = { 0, se x ≤ 0; √x, se x > 0 }
g(x) = (x− 2)(x + 1)

3) Dada a função f(x) = { 3−x − 1, se − 1 ≤ x < 0; tg(x2), se 0 ≤ x < π; ln(x)/√(x−2), se π ≤ x ≤ 6. Achar os valores:
f(−1)
f(π/2)
f(e^2)

5) Calcule o seguinte limite: lim x→0 (2k√(x2+1)−1)/x2, onde k é um número natural fixo.

6) Analise a existencia dos limites laterais da função f(x) = { (5x+2)/(4x+2) 1/x, se x < 0; (1 + x)/(6x+1)/(2x), se x > 0 } no ponto x = 0 e diga se existe ou não o limite da função em x = 0.

7) Calcule o seguinte limite: lim x→0 (cos²(1/x))csc²(1/x).

Definição: As funções e^x + e^−x / 2 e e^x − e^−x / 2 se denominam, coseno (ch(x)) e seno (sh(x)) hiperbólico, respetivamente.
8) a) Achar os valores ch(0) e sh(0). b) Prove que ch²(x)− sh²(x) = 1.

Sabendo que a tangente e cotangente hiperbólica são definidas como: th(x) = sh(x)/ch(x) = (e^x−e^−x)/(e^x+e^−x) e cth(x) = ch(x)/sh(x) = (e^x+e^−x)/(e^x−e^−x).
9) a) Achar os seguintes limites: lim x→0 th(x), lim x→+∞ th(x), lim x→−∞ th(x). b) lim x→0+ cth(x), lim x→0− cth(x), lim x→+∞ cth(x).

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f(x) = { 0, se x ≤ 0; √x, se x > 0 }
g(x) = (x− 2)(x + 1)

3) Dada a função f(x) = { 3−x − 1, se − 1 ≤ x < 0; tg(x2), se 0 ≤ x < π; ln(x)/√(x−2), se π ≤ x ≤ 6. Achar os valores:
f(−1)
f(π/2)
f(e^2)

5) Calcule o seguinte limite: lim x→0 (2k√(x2+1)−1)/x2, onde k é um número natural fixo.

6) Analise a existencia dos limites laterais da função f(x) = { (5x+2)/(4x+2) 1/x, se x < 0; (1 + x)/(6x+1)/(2x), se x > 0 } no ponto x = 0 e diga se existe ou não o limite da função em x = 0.

7) Calcule o seguinte limite: lim x→0 (cos²(1/x))csc²(1/x).

Definição: As funções e^x + e^−x / 2 e e^x − e^−x / 2 se denominam, coseno (ch(x)) e seno (sh(x)) hiperbólico, respetivamente.
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3) Dada a função f(x) = { 3−x − 1, se − 1 ≤ x < 0; tg(x2), se 0 ≤ x < π; ln(x)/√(x−2), se π ≤ x ≤ 6. Achar os valores:f(−1)f(π/2)f(e^2)

5) Calcule o seguinte limite: lim x→0 (2k√(x2+1)−1)/x2, onde k é um número natural fixo.

6) Analise a existencia dos limites laterais da função f(x) = { (5x+2)/(4x+2) 1/x, se x < 0; (1 + x)/(6x+1)/(2x), se x > 0 } no ponto x = 0 e diga se existe ou não o limite da função em x = 0.

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Definição: As funções e^x + e^−x / 2 e e^x − e^−x / 2 se denominam, coseno (ch(x)) e seno (sh(x)) hiperbólico, respetivamente.8) a) Achar os valores ch(0) e sh(0). b) Prove que ch²(x)− sh²(x) = 1.

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f(−1)
f(π/2)
f(e^2)

Definição: As funções e^x + e^−x / 2 e e^x − e^−x / 2 se denominam, coseno (ch(x)) e seno (sh(x)) hiperbólico, respetivamente.
8) a) Achar os valores ch(0) e sh(0). b) Prove que ch²(x)− sh²(x) = 1.