Para determinar um subespaço \( W \) de \( P_3(\mathbb{R}) \) tal que \( S_1 \oplus W = P_3(\mathbb{R}) \), precisamos primeiro entender as dimensões dos subespaços \( S_1 \) e \( S_2 \). 1. Dimensão de \( S_1 \): O subespaço \( S_1 \) é definido pela condição \( a_3 - a_2 + a_1 = 0 \). Isso implica que podemos expressar um dos coeficientes em termos dos outros. Portanto, a dimensão de \( S_1 \) é 3 (já que temos 4 coeficientes e uma relação linear). 2. Dimensão de \( S_2 \): O subespaço \( S_2 \) é gerado pelos polinômios \( t^3 + 2t^2 + t \), \( t^2 + t + 1 \) e \( t^3 \). Para verificar a linearidade, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular o posto. Após a análise, podemos concluir que a dimensão de \( S_2 \) é 3. 3. Dimensão de \( P_3(\mathbb{R}) \): O espaço \( P_3(\mathbb{R}) \) tem dimensão 4, pois é gerado por \( \{1, t, t^2, t^3\} \). 4. Condição para a soma direta: Para que \( S_1 \oplus W = P_3(\mathbb{R}) \), a soma das dimensões deve satisfazer a relação: \[ \dim(S_1) + \dim(W) = \dim(P_3(\mathbb{R})) \] Substituindo as dimensões, temos: \[ 3 + \dim(W) = 4 \implies \dim(W) = 1 \] 5. Escolha de \( W \): Um subespaço \( W \) de dimensão 1 pode ser gerado por um polinômio que não está em \( S_1 \). Por exemplo, podemos escolher \( W = \text{span}\{t^3\} \) ou qualquer polinômio que não satisfaça a condição de \( S_1 \). Portanto, um exemplo de subespaço \( W \) que satisfaz \( S_1 \oplus W = P_3(\mathbb{R}) \) é \( W = \text{span}\{t^3\} \).