Sejam S1 = {a3t3+a2t2+a1t+a0 ∈ P3(R) | a3−a2+a1 = 0} e S2 = [t3+2t2+t, t2+t+1, t3] dois subespaços de P3(R). Determine a base e a dimensão de S1 ∩ S2.

Para determinar a base e a dimensão da interseção \( S_1 \cap S_2 \), vamos analisar cada subespaço. 1. Subespaço \( S_1 \): - \( S_1 = \{ a_3t^3 + a_2t^2 + a_1t + a_0 \in P_3(\mathbb{R}) \mid a_3 - a_2 + a_1 = 0 \} \). - Essa condição pode ser reescrita como \( a_1 = a_2 - a_3 \). - Assim, podemos expressar um polinômio em \( S_1 \) como: \[ p(t) = a_3t^3 + a_2t^2 + (a_2 - a_3)t + a_0 = a_3(t^3 - t) + a_2(t^2 + t) + a_0. \] - Portanto, uma base para \( S_1 \) é \( \{ t^3 - t, t^2 + t, 1 \} \) e a dimensão de \( S_1 \) é 3. 2. Subespaço \( S_2 \): - \( S_2 \) é gerado pelos vetores \( \{ t^3 + 2t^2 + t, t^2 + t + 1, t^3 \} \). - Para encontrar uma base, precisamos verificar a linearidade entre esses vetores. - Observando, podemos ver que \( t^3 \) é um vetor independente e \( t^3 + 2t^2 + t \) pode ser escrito como uma combinação linear de \( t^3 \) e \( t^2 + t + 1 \). - Assim, uma base para \( S_2 \) é \( \{ t^3, t^2 + t + 1 \} \) e a dimensão de \( S_2 \) é 2. 3. Interseção \( S_1 \cap S_2 \): - Para encontrar a interseção, precisamos resolver o sistema de equações que resulta da condição de \( S_1 \) e as combinações lineares de \( S_2 \). - Um polinômio em \( S_1 \) deve satisfazer \( a_3 - a_2 + a_1 = 0 \) e também ser uma combinação dos geradores de \( S_2 \). - Ao resolver, encontramos que a interseção é gerada por \( \{ t^3 \} \), pois é o único polinômio que satisfaz ambas as condições. Portanto, a base de \( S_1 \cap S_2 \) é \( \{ t^3 \} \) e a dimensão de \( S_1 \cap S_2 \) é 1.