Para determinar as equações paramétricas da reta Γ que passa pelo ponto A(5, 4, -1) e é ortogonal às retas r₁ e r₂, precisamos primeiro encontrar os vetores diretores dessas retas. 1. Reta r₁: A equação é dada por \([x,y,z] = [0,0,1] + t[2,3,4]\). O vetor diretor de r₁ é \(\vec{v_1} = (2, 3, 4)\). 2. Reta r₂: A equação é dada por \(y = 1 - t\) e \(z = t\). Podemos reescrever isso como \([x,y,z] = [0,1,0] + t[0,-1,1]\). O vetor diretor de r₂ é \(\vec{v_2} = (0, -1, 1)\). 3. Encontrar o vetor diretor da reta Γ: A reta Γ deve ser ortogonal a ambos os vetores diretores \(\vec{v_1}\) e \(\vec{v_2}\). Para isso, podemos calcular o produto vetorial \(\vec{v_1} \times \vec{v_2}\). \[ \vec{v_1} = (2, 3, 4) \quad \text{e} \quad \vec{v_2} = (0, -1, 1) \] Calculando o produto vetorial: \[ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 \cdot 1 - 4 \cdot (-1)) - \hat{j}(2 \cdot 1 - 4 \cdot 0) + \hat{k}(2 \cdot (-1) - 3 \cdot 0) \] \[ = \hat{i}(3 + 4) - \hat{j}(2) + \hat{k}(-2) = 7\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k} \] Assim, o vetor diretor da reta Γ é \((7, -2, -2)\). 4. Equações paramétricas da reta Γ: Agora, usando o ponto A(5, 4, -1) e o vetor diretor (7, -2, -2), as equações paramétricas são: \[ x = 5 + 7t \] \[ y = 4 - 2t \] \[ z = -1 - 2t \] Agora, analisando as alternativas: A) \(x=5+7t, y=4+2t, z=-1-2t\) B) \(x=5-7t, y=4-2t, z=1+2t\) C) \(x=5+7t, y=4-2t, z=-1+2t\) D) \(x=5+7t, y=4-2t, z=-1-2t\) E) \(x=5-7t, y=4-2t, z=-1-2t\) A alternativa correta é a D: \(x=5+7t, y=4-2t, z=-1-2t\).