Para determinar a área total da região onde a poluição excede o nível aceitável no intervalo de \( x = -4 \) a \( x = 2 \), precisamos analisar as interseções das funções e as trocas de sinal. 1. Funções dadas: - \( f(x) = x + 6 \) (poluição por fontes móveis) - \( g(x) = x^3 \) (poluição por fontes fixas) - \( h(x) = -1 \) (nível de poluição aceitável) 2. Intervalo de análise: \( x = -4 \) a \( x = 2 \). 3. Interseções: - Precisamos encontrar onde \( f(x) \) e \( h(x) \) se cruzam, e onde \( g(x) \) e \( h(x) \) se cruzam, para determinar as áreas corretas. 4. Cálculo das áreas: - Para a área entre \( f(x) \) e \( h(x) \) no intervalo de \( -4 \) a \( 0 \): \[ A_1 = \int_{-4}^{0} [(x + 6) - (-1)] \, dx = \int_{-4}^{0} (x + 7) \, dx \] - Para a área entre \( f(x) \) e \( g(x) \) no intervalo de \( 0 \) a \( 2 \): \[ A_2 = \int_{0}^{2} [(x + 6) - x^3] \, dx \] 5. Analisando as alternativas: - A alternativa A apresenta a fórmula correta para a área total, considerando as trocas de sinal e os limites de integração. - A alternativa B tem um erro na soma, pois não deve somar \( +1 \) ao invés de subtrair \( -1 \). - A alternativa C apresenta a ordem errada na subtração. - A alternativa D apresenta um resultado incorreto, pois a área não pode ser zero. Portanto, a alternativa correta é: A.