Determine a função comprimento do arco determinado pela função g(x)=x 2 +8, do ponto x=0 até o ponto x= 2 π ​ .

Para determinar a função comprimento do arco da função \( g(x) = x^2 + 8 \) do ponto \( x = 0 \) até \( x = 2\pi \), você pode usar a fórmula do comprimento do arco: \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] 1. Calcule a derivada \( \frac{dy}{dx} \): \[ g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 8) = 2x \] 2. Substitua na fórmula: \[ L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1 + 4x^2} \, dx \] 3. Resolva a integral: Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou uma tabela de integrais, mas o resultado final é: \[ L = \left[ \frac{x}{2} \sqrt{1 + 4x^2} + \frac{1}{4} \ln(2x + \sqrt{1 + 4x^2}) \right]_{0}^{2\pi} \] 4. Calcule os limites: Substitua \( x = 2\pi \) e \( x = 0 \) na expressão para encontrar o comprimento do arco. Assim, você terá o comprimento do arco da função \( g(x) \) entre os pontos especificados.