Para encontrar a derivada direcional da função \( g(x,y,z) = xy + yz + zx \) no ponto \( P_0 = (1, -1, 2) \) na direção \( \mathbf{A} = 3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 2\mathbf{k} \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular o gradiente da função \( g \): \[ \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}, \frac{\partial g}{\partial z} \right) \] - \( \frac{\partial g}{\partial x} = y + z \) - \( \frac{\partial g}{\partial y} = x + z \) - \( \frac{\partial g}{\partial z} = x + y \) Portanto, o gradiente é: \[ \nabla g = (y + z, x + z, x + y) \] 2. Avaliar o gradiente no ponto \( P_0 = (1, -1, 2) \): \[ \nabla g(1, -1, 2) = (-1 + 2, 1 + 2, 1 - 1) = (1, 3, 0) \] 3. Encontrar a direção unitária de \( \mathbf{A} \): Primeiro, calculamos a norma de \( \mathbf{A} \): \[ \|\mathbf{A}\| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7 \] A direção unitária \( \mathbf{u} \) é: \[ \mathbf{u} = \frac{\mathbf{A}}{\|\mathbf{A}\|} = \left( \frac{3}{7}, \frac{6}{7}, \frac{-2}{7} \right) \] 4. Calcular a derivada direcional: A derivada direcional é dada por: \[ D_{\mathbf{u}} g = \nabla g \cdot \mathbf{u} \] Calculando o produto escalar: \[ D_{\mathbf{u}} g = (1, 3, 0) \cdot \left( \frac{3}{7}, \frac{6}{7}, \frac{-2}{7} \right) = 1 \cdot \frac{3}{7} + 3 \cdot \frac{6}{7} + 0 \cdot \frac{-2}{7} = \frac{3}{7} + \frac{18}{7} = \frac{21}{7} = 3 \] Portanto, a derivada direcional no ponto \( P_0 \) na direção \( \mathbf{A} \) é 3. A alternativa correta é: Opção C 3.