Para aplicar a integração por partes, a escolha de \( u \) e \( dv \) deve ser feita de forma a facilitar a resolução da integral. Uma regra prática comum é escolher \( u \) como uma função que se torna mais simples quando derivada e \( dv \) como uma função cuja integral é fácil de calcular. Vamos analisar as opções: a) \( u = e^x \) e \( dv = \sin x \, dx \) - Aqui, a derivada de \( e^x \) é \( e^x \), que não simplifica a integral de \( \sin x \). b) \( u = \sin x \) e \( dv = e^x \, dx \) - A derivada de \( \sin x \) é \( \cos x \), e a integral de \( e^x \) é \( e^x \), mas não é a melhor escolha. c) \( u = x \) e \( dv = \cos x \, dx \) - A derivada de \( x \) é \( 1 \), que simplifica a integral, e a integral de \( \cos x \) é \( \sin x \). Essa é uma boa escolha. d) \( u = \cos x \) e \( dv = x \, dx \) - A derivada de \( \cos x \) é \( -\sin x \), e a integral de \( x \) é \( \frac{x^2}{2} \), mas não simplifica tanto quanto a opção (c). A melhor escolha para aplicar a integração por partes, considerando a simplificação e a facilidade de cálculo, é a opção c) \( u = x \) e \( dv = \cos x \, dx \).