Para classificar a equação \( x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0 \), precisamos analisar a forma geral das equações diferenciais parciais. A equação dada pode ser reescrita como: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0 \] Essa forma sugere que estamos lidando com uma equação que não tem um termo de segunda derivada em relação ao espaço, o que é característico de equações hiperbólicas. Analisando as alternativas: a) Equação parabólica - Geralmente tem a forma \( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \). b) Equação elíptica - Tem a forma \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \). c) Equação hiperbólica - Tem a forma \( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \). d) Equação linear de primeira ordem - Não se aplica aqui, pois estamos lidando com derivadas de segunda ordem. Portanto, a equação \( x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0 \) é um exemplo clássico de uma equação hiperbólica. A alternativa correta é: c) Equação hiperbólica.