Para encontrar as derivadas parciais da função \( f(x,y) = -6x^4y^3 + 10x^3y^3 + 7x^2 - 10y^3 - 6x \), vamos calcular \( f_x \) e \( f_y \). 1. Derivada parcial em relação a \( x \) ( \( f_x \) ): - Derivando cada termo em relação a \( x \): - \( \frac{\partial}{\partial x}(-6x^4y^3) = -24x^3y^3 \) - \( \frac{\partial}{\partial x}(10x^3y^3) = 30x^2y^3 \) - \( \frac{\partial}{\partial x}(7x^2) = 14x \) - \( \frac{\partial}{\partial x}(-10y^3) = 0 \) - \( \frac{\partial}{\partial x}(-6x) = -6 \) Portanto, somando tudo: \[ f_x = -24x^3y^3 + 30x^2y^3 + 14x - 6 \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \) ( \( f_y \) ): - Derivando cada termo em relação a \( y \): - \( \frac{\partial}{\partial y}(-6x^4y^3) = -18x^4y^2 \) - \( \frac{\partial}{\partial y}(10x^3y^3) = 30x^3y^2 \) - \( \frac{\partial}{\partial y}(7x^2) = 0 \) - \( \frac{\partial}{\partial y}(-10y^3) = -30y^2 \) - \( \frac{\partial}{\partial y}(-6x) = 0 \) Portanto, somando tudo: \[ f_y = -18x^4y^2 + 30x^3y^2 - 30 \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( f_x = -24y^3 + 30x^2 + 14x - 6 \) e \( f_y = -18x^4y^2 + 30y^2 - 30 \) B) \( f_x = -x^3y^3 + 30x^2y^3 + x - 6 \) e \( f_y = -18x^4y^2 + x^3y^2 - 3y^2 \) C) \( f_x = -24x^3y^3 + 30x^2y^3 + 14x - 6 \) e \( f_y = -18x^4y^2 + 30x^3y^2 - 30y^2 \) D) \( f_x = -24x^3y^3 - 6 \) e \( f_y = -18x^4y^2 - 30y^2 \) E) \( f_x = -72x^2y^3 + 60xy^3 + 14 \) e \( f_y = -36x^4y + 60x^3y - 60y \) A única alternativa que corresponde às derivadas que encontramos é a C: \( f_x = -24x^3y^3 + 30x^2y^3 + 14x - 6 \) e \( f_y = -18x^4y^2 + 30x^3y^2 - 30y^2 \). Portanto, a alternativa correta é a C.